《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

11. (2024·南沙区校级月考)某商店销售某种特产商品,以每千克12元购进,按每千克16元销售时,每天可售出100千克,经市场调查发现,单价每涨1元,每天的销售量就减少10千克.
(1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元,并且尽可能让利于顾客,那么每千克特产商品的售价应为多少元?
(2)通过计算说明,每千克特产商品的售价为多少元时,每天销售这种特产商品获利最大? 最大利润是多少元?

答案： 解：
(1)设每千克特产商品应涨价$ x $元.依题意，得$ (16 + x - 12)(100 - 10x) = 480 $，解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 4 $.
∵要尽可能让利于顾客，
∴$ x = 2 $.
∴$ 16 + 2 = 18 $(元).答：每千克特产商品的售价应为18元.
(2)设每天获得的利润为$ w $元，每千克特产商品的售价为$ y $元.依题意，得$ w = (y - 12)[100 - 10(y - 16)] $ $ = (y - 12)(-10y + 260) $ $ = -10y^2 + 380y - 3120 $ $ = -10(y - 19)^2 + 490 $.
∴当$ y = 19 $时，$ w $有最大值490.答：每千克特产商品的售价为19元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是490元.

12. (2024·中山期末)某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为28m),其余三面用长为40m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地,在菜地的前端设计了两个宽为1m的小门,便于同学们进入.
(1)若围成的菜地面积为$120m^2,$则此时菜地的宽AB为______10m.
(2)可以围成的菜地面积最大是多少?

答案： 解：
(1)设菜地的宽$ AB $为$ x $m，则菜地的长$ AD $为$ (40 + 2 - 3x) $m.依题意，得$ x(40 + 2 - 3x) = 120 $，解得$ x_1 = 4 $，$ x_2 = 10 $.当$ x = 4 $时，$ 40 + 2 - 3x = 30 ＞ 28 $(不合题意，舍去)；当$ x = 10 $时，$ 40 + 2 - 3x = 12 ＜ 28 $，符合题意.故答案为10m.
(2)设菜地的面积为$ S $ $ m^2 $.依题意，得$ S = x(42 - 3x) $ $ = -3(x - 7)^2 + 147 $，
∵$ 0 ＜ 42 - 3x \leq 28 $，解得$ \frac{14}{3} \leq x ＜ 14 $，
∴当$ x = 7 $时，$ S $取最大值，最大值为147.答：可以围成的菜地面积最大为147 $ m^2 $.

13. (2024·香洲区校级月考)如图,抛物线$y= ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴交于A(-2,0),B(8,0)两点,与y轴交于点C(0,4),连接AC,BC.
(1)求抛物线的表达式；
(2)D为抛物线上第一象限内一点,求△DCB面积的最大值；
(3)P是抛物线上一动点,当∠PCB= ∠ABC时,求点P的坐标.

答案：
解：
(1)
∵抛物线$ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $与$ x $轴交于$ A(-2, 0) $，$ B(8, 0) $两点，与$ y $轴交于点$ C(0, 4) $，
∴$ \begin{cases} 4a - 2b + c = 0, \\ 64a + 8b + c = 0, \\ c = 4, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = -\frac{1}{4}, \\ b = \frac{3}{2}, \\ c = 4. \end{cases} $
∴抛物线的表达式为$ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 4 $.
(2)如图1，过点$ D $作$ DE // y $轴交$ BC $于点$ E $，交$ x $轴于点$ F $，

∵$ B(8, 0) $，$ C(0, 4) $，
∴直线$ BC $的解析式为$ y = -\frac{1}{2}x + 4 $.设$ D(m, -\frac{1}{4}m^2 + \frac{3}{2}m + 4) $，则$ E(m, -\frac{1}{2}m + 4) $.
∵$ D $为抛物线上第一象限内一点，
∴$ DE = DF - EF $ $ = (-\frac{1}{4}m^2 + \frac{3}{2}m + 4) - (-\frac{1}{2}m + 4) $ $ = -\frac{1}{4}m^2 + 2m $.
∴$ S_{\triangle DCB} = \frac{1}{2} \cdot 8DE $ $ = 4(-\frac{1}{4}m^2 + 2m) $ $ = -m^2 + 8m $ $ = -(m - 4)^2 + 16 $.
∴当$ m = 4 $时，$ \triangle DCB $面积最大，最大值为16.
(3)①当点$ P $在$ BC $上方时，如图2所示，

∵$ \angle PCB = \angle ABC $，
∴$ PC // AB $.
∴点$ C $，$ P $关于直线$ x = \frac{8 + (-2)}{2} = 3 $对称.又
∵$ C(0, 4) $，
∴$ P(6, 4) $；
②当点$ P $在$ BC $下方时，如图3所示，

设$ PC $交$ x $轴于点$ H $.
∵$ \angle PCB = \angle ABC $，
∴$ HC = HB $.设$ HB = HC = p $，
∴$ OH = OB - HB = 8 - p $.在$ Rt \triangle COH $中，$ OC^2 + OH^2 = HC^2 $，
∴$ 4^2 + (8 - p)^2 = p^2 $，解得$ p = 5 $.
∴$ OH = 3 $.
∴$ H(3, 0) $.由点$ C $，$ H $的坐标，可得直线$ PC $的解析式为$ y = -\frac{4}{3}x + 4 $.联立$ \begin{cases} y = -\frac{4}{3}x + 4, \\ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 4, \end{cases} $解得$ \begin{cases} x_1 = 0, \\ y_1 = 4, \end{cases} \begin{cases} x_2 = \frac{34}{3}, \\ y_2 = -\frac{100}{9}. \end{cases} $
∵点$ P $在$ BC $下方，
∴$ P(\frac{34}{3}, -\frac{100}{9}) $.综上所述，点$ P $的坐标为$ (6, 4) $或$ (\frac{34}{3}, -\frac{100}{9}) $.