《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 二次函数$y= -2(x-10)^{2}+200$,当$x=$10时,$y$取得最大值为200。

答案： 10 大 200

2. (2024·越秀区校级月考)学校规划了一块如图所示的矩形用地,用长为 24 m 的篱笆,一面靠墙(墙的最大可用长度为 9 m)围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地. 设中草药种植地边 AB 的长为 x m,面积为$y m^{2}$.
(1)直接写出$y与x$的函数关系式：$y=24x-3x^{2}$,并写出$x$的取值范围：$5≤x<8$.
(2)当边 AB 的长为多少时,中草药种植地面积最大,最大面积是多少？

答案： 解:
(1) $ y = 24x - 3x^{2} $ $ 5 \leq x ＜ 8 $
(2) $ y = 24x - 3x^{2} $
$ = -3(x - 4)^{2} + 48 $,
$ \because -3 ＜ 0 $, 对称轴为直线 $ x = 4 $,
$ \therefore $ 当 $ x ＞ 4 $ 时, $ y $ 随着 $ x $ 的增大而减小.
$ \because 5 \leq x ＜ 8 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 5 $ 时, $ y $ 有最大值, 最大值为 45,
答: 当边 $ AB $ 的长为 $ 5m $ 时, 中草药种植地面积最大, 最大面积是 $ 45m^{2} $.

3. 有一根长为 20 cm 的铁丝,把它弯成一个如图所示的矩形 ABCD,其中$AB= x cm$,矩形面积为$y cm^{2}$.
(1)求$y与x$之间的函数关系式,并求自变量$x$的取值范围.
函数关系式为$y=-x^{2}+10x$，自变量$x$的取值范围为$0＜x＜10$.
(2)当$x$为何值时,矩形的面积最大？最大面积为多少？
当$x=$5时，矩形面积最大，最大面积为25$cm^{2}$.

答案： 解:
(1) $ \because AB = x cm $,
$ \therefore BC = \frac{20 - 2x}{2} = (10 - x) cm $.
$ \therefore y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x $;
$ \because \begin{cases} x ＞ 0, \\ 10 - x ＞ 0, \end{cases} $
$ \therefore 0 ＜ x ＜ 10 $.
(2) $ \because y = -x^{2} + 10x $
$ = -(x - 5)^{2} + 25 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 5 $ 时, $ y $ 有最大值为 25,
答: 当 $ x = 5 $ 时, 矩形的面积最大, 最大面积为 $ 25 cm^{2} $.

4. (2024·香洲区期中)某专卖店销售的一款童装每件进价为 80 元,销售价为 120 元,每天可售出 20 件. 如果每件童装降价 1 元,那么平均可多售出 2 件,设每件童装降价$x$元. 当每件童装降价多少元时,平均每天盈利最大？最大利润是多少？

答案： 解: 设平均每天的利润为 $ w $ 元.
依题意, 得
$ w = (20 + 2x)(40 - x) $
$ = -2(x - 15)^{2} + 1250 $,
$ \therefore $ 当 $ x = 15 $ 时, $ w_{\max} = 1250 $.
答: 当每件童装降价 15 元时, 平均每天盈利最大, 最大利润是 1250 元.

5. 一种新上市的文具,进价为 20 元,试销阶段发现：当销售单价是 25 元时,每天的销售量为 250 件,销售单价每上涨 1 元,每天的销售量就减少 10 件. 求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大.

答案： 解: 设销售单价上涨 $ x $ 元, 销售利润为 $ y $ 元, 则
$ y = (5 + x)(250 - 10x) $
$ = -10(x - 10)^{2} + 2250 $.
$ \therefore $ 当 $ x = 10 $ 时, $ y_{\max} = 2250 $,
即单价为 $ 25 + 10 = 35 $ 元时, 销售利润最大, 最大利润为 2250 元.