《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (1)抛物线$y = 3(x + 4)^2 + 5$的顶点坐标是(-4,5)；
(2)抛物线$y = a(x - h)^2 + k$的顶点坐标是(h,k)。

答案：
(1) -4 5
(2) h k

2. (2024·新会区校级月考)已知抛物线的顶点坐标为$C(4, - 2)$,且过点$(2,6)$。
(1)试确定此抛物线的解析式；
(2)请你判断点$P(-2,3)$是否在这个二次函数的图象上。

答案： 解:
(1) 根据条件可设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 4)^2 - 2(a \neq 0) $。把 $ (2,6) $ 代入 $ y = a(x - 4)^2 - 2 $，得 $ a(2 - 4)^2 - 2 = 6 $，解得 $ a = 2 $。
∴ 抛物线的解析式为 $ y = 2(x - 4)^2 - 2 $，即 $ y = 2x^2 - 16x + 30 $。
(2) 不在. 理由如下: 当 $ x = -2 $ 时，$ y = 2(x - 4)^2 - 2 = 2(-2 - 4)^2 - 2 = 70 $，
∴ 点 $ P(-2,3) $ 不在这个二次函数的图象上.

3. 抛物线的图象如图所示,其中点$A$为顶点。求出点$A$,$B$的坐标及抛物线的解析式。

点$A$的坐标为$(2, -4)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，抛物线的解析式为$y = 2x^2 - 8x + 4$。

答案： 解: 由图象知，点 $ A $ 的坐标为 $ (2, -4) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (0,4) $。设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 - 4 $。将 $ B(0,4) $ 代入，得 $ 4 = a(0 - 2)^2 - 4 $。解得 $ a = 2 $。
∴ 抛物线的解析式为 $ y = 2(x - 2)^2 - 4 $，即 $ y = 2x^2 - 8x + 4 $。

4. 例 二次函数的图象与$y轴交于点(0,3)$,对称轴是直线$x = - 2$,函数最小值为$-1$。求它的解析式。

答案： 解: 依题意，设函数的解析式为 $ y = a(x + 2)^2 - 1 $。将点 $ (0,3) $ 代入，得 $ 3 = 4a - 1 $。解得 $ a = 1 $。
∴ 函数的解析式为 $ y = (x + 2)^2 - 1 $，即 $ y = x^2 + 4x + 3 $。

5. 已知二次函数的图象过点$(4, - 3)$,并且当$x = 3$时,$y有最大值4$,求这个二次函数的解析式。

答案： 解: 依题意，设函数解析式为 $ y = a(x - 3)^2 + 4 $。将点 $ (4, -3) $ 代入，得 $ -3 = a + 4 $。解得 $ a = -7 $。
∴ 这个二次函数的解析式为 $ y = -7(x - 3)^2 + 4 $，即 $ y = -7x^2 + 42x - 59 $。

6. 例 已知二次函数图象与$x轴的两个交点的坐标为(-3,0)$,$(1,0)$,且与$y轴的交点坐标为(0, - 3)$,求这个二次函数的解析式。

答案： 解: 依题意，设函数的解析式为 $ y = a(x + 3)(x - 1) $。将点 $ (0, -3) $ 代入，得 $ -3 = -3a $。解得 $ a = 1 $。
∴ 所求函数的解析式为 $ y = (x + 3)(x - 1) $，即 $ y = x^2 + 2x - 3 $。

7. 【原创题】根据图中条件求抛物线的解析式。

解: 由图象得，该抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ (-1,0) $，$ (2,0) $，∴ 设该抛物线的解析式为 $ y = a(x + 1)(x - 2) $。又 ∵ 该抛物线过点 $ (0,1) $，将其代入，得 $ 1 = a × 1 × (-2) = -2a $，∴ $ a = $$ -\frac{1}{2} $。∴ 该抛物线的解析式为 $ y = $$ -\frac{1}{2}(x + 1)(x - 2) $，即 $ y = $$ -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 $。

答案： 解: 由图象得，该抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ (-1,0) $，$ (2,0) $，
∴ 设该抛物线的解析式为 $ y = a(x + 1)(x - 2) $。又
∵ 该抛物线过点 $ (0,1) $，将其代入，得 $ 1 = a \times 1 \times (-2) = -2a $，
∴ $ a = -\frac{1}{2} $。
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)(x - 2) $，即 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 1 $。