《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

2. (2024·蓬江区校级二模)【项目式学习】
项目主题:如何拟定运动员拍照记录的方案?
项目背景:
任务一:确定滑道的形状
(1)图 1 是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景,图 2 是跳台滑雪场地的横截面示意图,AC 垂直于水平底面 BC,点 D 到点 A 之间的滑道呈抛物线型,已知$AC= 3m,BC= 4m$,且点 B 处于跳台滑道的最低处. 在图 2 中建立适当的平面直角坐标系,求滑道所在抛物线的函数表达式.




任务二:确定运动员到达最高点的位置
(2)如图 2,某运动员从点 A 滑出后的路径满足以下条件:
①运动员滑出路径与点 D,A 之间的抛物线形状相同;
②该运动员在底面 BC 上方竖直距离 9.75 m 处达到最高点 P;
③落点 Q 在底面 BC 下方竖直距离 2.25 m 处.
在同一平面直角坐标系中,求运动员到达最高处时与点 A 的水平距离.
任务三:确定拍摄俯角α
(3)高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间,如图 3,有一台摄像机 M 进行跟踪拍摄:
①它与点 B 位于同一高度,且与点 B 距离 25.5 m;
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录,记摄像头的俯角为α;
③在平面直角坐标系中,设射线 MN 的解析式为$y= kx+b(k≠0)$,其比例系数 k 和俯角α的函数关系如图 4 所示.
若要求运动员的落点 Q 必须在摄像机 M 的视角范围内,则俯角α至少为多少度?(精确到个位)

答案：
解:
(1) 如图 2, 以点 B 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则点 A 的坐标为$(4,3)$.

设滑道所在抛物线的函数表达式为$y=ax^{2}$.把$A(4,3)$代入$y=ax^{2}$, 得$a\cdot 4^{2}=3$, 解得$a=\frac {3}{16}$.$\therefore$滑道所在抛物线的函数表达式为$y=\frac {3}{16}x^{2}$.
(2) 如图 2,$\because$运动员滑出路径与点 D,A 之间的抛物线形状相同,设$P(m,9.75)$.$\therefore$运动员滑出路径的抛物线的函数表达式为$y=-\frac {3}{16}(x-m)^{2}+9.75$.把$A(4,3)$代入, 得$-\frac {3}{16}(4-m)^{2}+9.75=3$,解得$m=-2$(舍去) 或$m=10$,$\therefore$运动员到达最高处时与点 A 的水平距离为$10-4=6(m)$.
(3) 如图 3, 建立如图所示的平面直角坐标系,

由
(2) 得, 运动员滑出后的路径的抛物线的函数表达式为$y=-\frac {3}{16}(x-10)^{2}+9.75$.把$y=-2.25$代入, 得$-\frac {3}{16}(x-10)^{2}+9.75=-2.25$,解得$x_{1}=2$(舍去),$x_{2}=18$,$\therefore Q(18,-2.25)$.设 MN 的函数表达式为$y=kx+b$.把$Q(18,-2.25)$,$M(25.5,0)$代入$y=kx+b$, 得
$\left\{ \begin{array} { l } { 1 8 k + b = - 2. 2 5, } \\ { 2 5. 5 k + b = 0. } \end{array} \right.$
解得
$\left\{ \begin{array} { l } { k = 0. 3, } \\ { b = 7. 6 5. } \end{array} \right.$
由图 4 可知, 当$k=0.3$时,$\alpha =15$,$\therefore$俯角$\alpha$至少为$15^{\circ }$.