《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

7.(结合平行证切线)如图,AC是$\odot O$的直径,点D在$\odot O$上,过点D的直线BD与AC的延长线交于点B,$AE⊥BD$,垂足为E,AD平分$∠BAE$.求证:BD是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接OD，

∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA。
∵AD平分∠BAE，
∴∠OAD=∠EAD。
∴∠ODA=∠EAD。
∴OD//AE。
∵AE⊥BD，
∴OD⊥BD。
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线。

8.(结合中位线证切线)(2024·天河区月考)如图,在$△ABC$中,D为AB的中点,以BC为直径的$\odot O$与底边AB相交于点D,过点D作$DE⊥AC$,垂足为E.求证:DE为$\odot O$的

切线.

答案：
证明：如图，连接OD，

∵D为AB的中点，
∴AD=BD。
∵OB=OC，
∴OD为△ABC的中位线。
∴OD//AC。
又
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD。
∵OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线。

9.(2024·越秀区校级月考)如图,$\odot O是△ACD$的外接圆,CD是$\odot O$的直径,B为圆外一点,且$∠BAD= ∠C$.求证:AB是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接OA，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°。
∴∠C+∠D=90°。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D。
∵∠BAD=∠C，
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD
=∠D+∠C=90°。
∵OA是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。

10.(2024·海珠区期中)如图,AB为$\odot O$的直径,$OC⊥AB交\odot O$于点C,D为OB上一点,延长CD交$\odot O$于点E,延长OB至点F,使$DF= EF$.
(1)求证:EF为$\odot O$的切线;

(2)若$OD= 1且BD= BF$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1) 证明：如图，连接OE，

∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCD。
∵DF=EF，
∴∠FDE=∠FED。
∵OC⊥AB，
∴∠CDO+∠OCD=90°。
∵∠FDE=∠CDO，
∴∠FED+∠OEC=90°，
即∠FEO=90°。
∴OE⊥EF。
又
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线。
(2) 解：设⊙O的半径为r，
则OE=OB=r，
BD=BF=r−1。
∴EF=DF=BD+BF=2r−2，
OF=OB+BF=2r−1。
在Rt△FEO中，
EF²+OE²=OF²，
∴(2r−2)²+r²=(2r−1)²，
解得r₁=3，r₂=1(此时BD为0，应舍去)。
∴⊙O的半径为3。