《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 用描点法画一次函数$y = x + 1$的图象.
解: (1) 列表:


（表格中x=0对应的y值为1，x=-1对应的y值为0）
(2) 描点, 连线.

答案： 【解析】：
当$x = 0$时，将$x = 0$代入$y=x + 1$，根据代入求值的方法，可得$y=0 + 1=1$；
当$x=-1$时，把$x = - 1$代入$y=x + 1$，按照同样的代入求值规则，$y=-1 + 1=0$。
【答案】：
$1$；$0$

2. 用描点法画二次函数$y = x^{2}和y = \frac{1}{2}x^{2}$的图象.



| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | … | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | … |
| $y=\frac{1}{2}x^{2}$ | … | 2 | $\frac{1}{2}$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | 2 | … |

答案： 【解析】：
对于$y = x^{2}$，当$x=-2$时，$y = (-2)^{2}=4$；当$x = -1$时，$y = (-1)^{2}=1$；当$x = 0$时，$y = 0^{2}=0$；当$x = 1$时，$y = 1^{2}=1$；当$x = 2$时，$y = 2^{2}=4$。
对于$y=\frac{1}{2}x^{2}$，当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}\times(-2)^{2}=\frac{1}{2}\times4 = 2$；当$x = -1$时，$y=\frac{1}{2}\times(-1)^{2}=\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}$；当$x = 0$时，$y=\frac{1}{2}\times0^{2}=0$；当$x = 1$时，$y=\frac{1}{2}\times1^{2}=\frac{1}{2}$；当$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}\times2^{2}=\frac{1}{2}\times4 = 2$。
【答案】：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = x^{2}$ | … | $4$ | $1$ | $0$ | $1$ | $4$ | … |
| $y=\frac{1}{2}x^{2}$ | … | $2$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $2$ | … |

3. 在同一坐标系中画出二次函数$y = -x^{2}和y = -\frac{1}{2}x^{2}$的图象.


| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^{2}$ | … | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | … |
| $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ | … | $-2$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ | … |

答案： 【解析】：本题可根据二次函数的表达式，将$x$的值分别代入$y = -x^{2}$和$y = -\frac{1}{2}x^{2}$中，求出对应的$y$值。
对于$y = -x^{2}$：
当$x = -2$时，$y = -(-2)^{2}=-4$；
当$x = -1$时，$y = -(-1)^{2}=-1$；
当$x = 0$时，$y = -0^{2}=0$；
当$x = 1$时，$y = -1^{2}=-1$；
当$x = 2$时，$y = -2^{2}=-4$。
对于$y = -\frac{1}{2}x^{2}$：
当$x = -2$时，$y = -\frac{1}{2}\times(-2)^{2}=-\frac{1}{2}\times4 = -2$；
当$x = -1$时，$y = -\frac{1}{2}\times(-1)^{2}=-\frac{1}{2}\times1 = -\frac{1}{2}$；
当$x = 0$时，$y = -\frac{1}{2}\times0^{2}=0$；
当$x = 1$时，$y = -\frac{1}{2}\times1^{2}=-\frac{1}{2}$；
当$x = 2$时，$y = -\frac{1}{2}\times2^{2}=-\frac{1}{2}\times4 = -2$。
【答案】：
| $x$ | … | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = -x^{2}$ | … | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | … |
| $y = -\frac{1}{2}x^{2}$ | … | $-2$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $-\frac{1}{2}$ | $-2$ | … |

总结:
二次函数$y = ax^{2}$的图象叫做抛物线.

知识点2 二次函数$y = ax^{2}$的图象与性质
当$a\gt0$时：
开口方向：向上
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x = 0$）
最大（小）值：当$x = 0$时，$y_{最小值}=$0
增减性：当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小
当$a\lt0$时：
开口方向：向下
顶点坐标：$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x = 0$）
最大（小）值：当$x = 0$时，$y_{最大值}=$0
增减性：当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大

答案： 【解析】：
对于$y = ax^{2}(a\gt0)$（以$y = x^{2}$为例）：
开口方向：因为$a\gt0$，根据二次函数性质，抛物线开口向上。
顶点坐标：对于$y = x^{2}$，当$x = 0$时，$y = 0$，所以顶点坐标是$(0,0)$。
对称轴：二次函数$y = ax^{2}$的对称轴是$y$轴（即直线$x = 0$）。
最大（小）值：因为抛物线开口向上，所以函数有最小值，当$x = 0$时，$y_{最小值}=0$。
增减性：当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而减小。
对于$y = ax^{2}(a\lt0)$（以$y=-x^{2}$为例）：
开口方向：因为$a\lt0$，根据二次函数性质，抛物线开口向下。
顶点坐标：对于$y = -x^{2}$，当$x = 0$时，$y = 0$，所以顶点坐标是$(0,0)$。
对称轴：二次函数$y = ax^{2}$的对称轴是$y$轴（即直线$x = 0$）。
最大（小）值：因为抛物线开口向下，所以函数有最大值，当$x = 0$时，$y_{最大值}=0$。
增减性：当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】：
开口方向：向上；向下
顶点坐标：$(0,0)$；$(0,0)$
对称轴：$y$轴（或直线$x = 0$）；$y$轴（或直线$x = 0$）
最大（小）值：$0$，$0$；$0$，$0$
增减性：增大，减小；减小，增大

4. 二次函数$y = \frac{a}{2}x^{2}$的图象如图所示, 则:
(1) $a$＞$0$;
(2) 开口向上;
(3) 对称轴是$y$轴;
(4) 顶点坐标是$(0,0)$;
(5) 当$x = $$0$时,$y的最小值 = $$0$;
(6) 当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而增大.

答案：
(1) $＞$
(2) 上
(3) $y$轴
(4) $(0,0)$
(5) $0$，$0$
(6) 增大