《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

7. (2024·越秀区二模)如图,点$A的坐标是(-3,0)$,点$B的坐标是(0,4)$,$C为OB$的中点,将$\triangle ABC绕点B逆时针旋转90^{\circ}得到\triangle A'BC'$。
(1)反比例函数$y = \frac{k}{x}的图象经过点C'$,求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数的图象经过$A$,$A'$两点,求

$\triangle ACA'$的面积。

答案：
解:
(1)
∵点A的坐标是$( - 3,0)$，点B 的坐标是$(0,4)$，C为OB的中点，
∴$OA = 3$，$OB = 4$，$BC = 2$.
∵将$\triangle ABC$绕点B逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A'BC'$，
∴$C'(2,4)$.
∵反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点C'，
∴$k = 2 \times 4 = 8$.
∴该反比例函数的表达式为$y = \frac{8}{x}$
(2)如图,连接$AA'$，$A'C$，作$A'H \perp y$轴于H，
　　　　
∴$\angle A'HB = 90^{\circ}$.
　由旋转得，$\angle ABA' = 90^{\circ}$，
　$BA' = BA$，
∵$\angle AOB = \angle ABA' = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABO + \angle BAO = 90^{\circ}$，$\angle ABO + \angle A'BH = 90^{\circ}$.
∴$\angle BAO = \angle A'BH$.
∵$AB = BA'$，
∴$\triangle AOB \cong \triangle BHA'(AAS)$，
∴$OA = HB$，$OB = HA'$.
∵$OA = 3$，$OB = 4$，
∴$HB = OA = 3$，$HA' = OB = 4$，$OC = 2$.
∴$OH = 1$，
∴$A'(4,1)$.
　设直线$AA'$的表达式为$y = ax + b(a \neq 0)$.
　把A$( - 3,0)$，A'$(4,1)$分别代入$y = ax + b$，得$\begin{cases} - 3a + b = 0 \\ 4a + b = 1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = \frac{1}{7} \\ b = \frac{3}{7} \end{cases}$
∴直线$AA'$的表达式为$y = \frac{1}{7}x + \frac{3}{7}$
　设直线$AA'$与y轴相交于点G，则点G$(0, \frac{3}{7})$.
∴$CG = 2 - \frac{3}{7} = \frac{11}{7}$，
∴$S_{\triangle ACA'}= S_{\triangle ACG} + S_{\triangle A'CG}$
　　　　$= \frac{1}{2}(x_{A'} - x_A) \cdot CG$
　　　　$= \frac{1}{2} \times (4 + 3) \times \frac{11}{7} = \frac{11}{2}$

8. (2024·中山二模)如图,平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象相交于点A,C,与x轴相交于点B,D,连接AC。点A,B的刻度分别为5,2,直尺的宽度BD为2,OB = 2,设直线AC的解析式为y = kx + b。(1)请结合图象直接写出不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集；2 ＜ x ＜ 4(2)求直线AC的解析式；$y = - \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$(3)平行于y轴的直线x = n(2 ＜ n ＜ 4)与AC相交于点E,与反比例函数的图象相交于点F,当这条直线左右平移时,线段EF的长为$\frac{1}{4},$求n的值。$\frac{8}{3}$或3

答案： 解:
(1)由图象可知，不等式$kx + b ＞ \frac{m}{x}$的解集为$2 ＜ x ＜ 4$.
(2)将A$(2,3)$代入$y = \frac{m}{x}$，得$\frac{m}{2} = 3$，解得$m = 6$，
∴$y = \frac{6}{x}$.
　又
∵$OD = 4$，
∴C$(4,1.5)$.
　将A$(2,3)$和C$(4,1.5)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} 2k + b = 3 \\ 4k + b = 1.5 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = - \frac{3}{4} \\ b = \frac{9}{2} \end{cases}$
∴直线AC的解析式为$y = - \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$
(3)当$x = n$时，点E的纵坐标为$- \frac{3}{4}n + \frac{9}{2}$，点F的纵坐标为$\frac{6}{n}$，依题意，得$- \frac{3}{4}n + \frac{9}{2} - \frac{6}{n} = \frac{1}{4}$，解得$n = \frac{8}{3}$或$n = 3$.