《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

2. (2024·香洲区期中)实践探究
某数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了“实践—应用—探究”的过程:
(1)【实践】他们对一座抛物线形拱桥进行测量,测得当拱顶高离水面$6m$时,水面宽$10m$,并画出了拱桥截面图,建立了如图1所示的直角坐标系,求该抛物线的解析式.
(2)【应用】按规定,船通过拱桥时,顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为$0.5m$.一场大雨让水面上升了$0.2m$,为了确保安全,问该拱桥能否让宽度为$6m$、高度为$3.2m$的货船通过?请通过计算进行说明(货船看作长方体).
(3)【探究】该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,并过原点作一条$y = x的直线OF$,交抛物线于点$F$,交抛物线对称轴于点$E$,提出了以下问题:
如图2,$B为直线OF$上方的抛物线上一动点,过点$B作BA垂直于x$轴,交$x轴于点A$,交直线$OF于点C$,过点$B作BD垂直于直线OF$,交直线$OF于点D$,则$BD + CD$的最大值为____$\frac{49\sqrt{2}}{24}$.

答案： 解:
(1) 设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 5)^{2} + 6 $.
由图 1 可知, 当 $ x = 0 $ 时,
$ 25a + 6 = 0 $, 解得 $ a = -\frac{6}{25} $.
$ \therefore $ 抛物线的解析式为
$ y = -\frac{6}{25}(x - 5)^{2} + 6 $.
(2) 该拱桥不能让宽度为 6 m、高度为 3.2 m 的货船通过. 理由如下:
$ \because $ 货船的宽为 6 m,
$ \therefore 10 - 6 = 4(m) $.
当 $ x = 2 $ 时,
$ y = -\frac{6}{25} \times 9 + 6 = 3.84 $,
$ \because 3.2 + 0.2 + 0.5 = 3.9 ＞ 3.84 $,
$ \therefore $ 货船不能通过.
(3) $ \because y = -\frac{6}{25}(x - 5)^{2} + 6 $,
$ \therefore $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = 5 $.
$ \therefore E(5, 5) $. $ \therefore \angle EOA = 45^{\circ} $.
$ \because BD \perp OE $, $ AB \perp OA $,
$ \therefore \angle BCD = 45^{\circ} $, $ \angle BDC = 90^{\circ} $,
$ BD = CD = \frac{\sqrt{2}}{2}BC $.
设 $ B(t, -\frac{6}{25}(t - 5)^{2} + 6) $,
则 $ C(t, t) $.
$ \therefore BC = -\frac{6}{25}(t - 5)^{2} + 6 - t $
$ = -\frac{6}{25}(t - \frac{35}{12})^{2} + \frac{49}{24} $.
$ \therefore $ 当 $ t = \frac{35}{12} $ 时, $ BC $ 有最大值 $ \frac{49}{24} $,
$ \therefore BD + CD $ 的最大值为 $ \frac{49\sqrt{2}}{24} $.
故答案为 $ \frac{49\sqrt{2}}{24} $.