《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

15. (2024·越秀区校级三模)小明家饮水机中原有水的温度为$20^{\circ }C$,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温$y(^{\circ }C)与开机时间x$(分)满足一次函数关系),当加热到$100^{\circ }C$时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温$y(^{\circ }C)与开机时间x$(分)成反比例关系),当水温降至$20^{\circ }C$时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示). 根据图中提供的信息,解答下列问题：
(1)当$0≤x≤8$时,求水温$y(^{\circ }C)与开机时间x$(分)的函数关系式.
(2)求图中$t$的值为40.
(3)有一天,小明在上午$7:10$(水温$20^{\circ }C$),开机通电后去上学,中午放学回到家时间刚好$11:56$,饮水机内水的温度约为80$^{\circ }C$？并求出在$7:10-11:56$这段时间里,水温共有7次达到$100^{\circ }C$.

答案： 解：
(1)由图象可知，当 $0 \leq x \leq 8$ 时是一次函数，设 $y = kx + b(0 \leq x \leq 8)$。把 $ (0,20) $，$ (8,100) $ 分别代入 $y = kx + b$，得 $ \begin{cases} b = 20 \\ 8k + b = 100 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = 10 \\ b = 20 \end{cases} $，
∴水温 $y(^{\circ}C)$ 与开机时间 $x$ (分)的函数关系式为 $y = 10x + 20(0 \leq x \leq 8)$。
(2)在水温下降过程中，设水温 $y(^{\circ}C)$ 与开机时间 $x$ (分)的函数关系式为 $y = \frac{m}{x}$。依题意，得 $ \frac{m}{8} = 100 $，解得 $m = 800$，
∴水温 $y(^{\circ}C)$ 与开机时间 $x$ (分)的函数关系式为 $y = \frac{800}{x}$。当 $y = 20$ 时，$ \frac{800}{t} = 20 $，解得 $t = 40$。
(3)由
(2)$t = 40$，结合图象可知，每 40 分钟图象重复出现一次，
∵ $7:10$ 到 $11:56$ 经历的时间为 286 分钟，$286 \div 40 = 7\cdots\cdots6$，$8 ＞ 6$，
∴当 $x = 6$ 时，$y = 10 \times 6 + 20 = 80(^{\circ}C)$。答：饮水机内水温约为 $80^{\circ}C$，共有 7 次达到 $100^{\circ}C$。

16. 如图,$\odot O的直径为AB$,$AM和BN$是它的两条切线,$DE切\odot O于点E$,交$AM于点D$,交$BN于点C$.
(1)若$AD= 4$,$BC= 9$,求$AB$的长；
(2)若$AB= 10$,设$AD= x$,$BC= y$,求$y与x$的函数解析式.

答案：
解：
(1)
∵ $AD$，$CD$，$BC$ 是 $ \odot O $ 的切线，
∴ $DE = AD = 4$，$EC = BC = 9$，$DC = DE + EC = 13$。如图，过点 $D$ 作 $DF \perp BC$ 交 $BC$ 于点 $F$，

得矩形 $ABFD$，则 $DF = AB$，$BF = AD = 4$，$FC = BC - BF = 9 - 4 = 5$。在 $Rt\triangle DFC$ 中，$DF = \sqrt{DC^{2} - FC^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$，
∴ $AB = DF = 12$。
(2)由
(1)可知 $DF = AB$，$BF = AD$。当 $AB = 10$，$AD = x$，$BC = y$ 时，$DF = 10$，$FC = BC - BF = y - x$，$DC = DE + EC = x + y$，在 $Rt\triangle DFC$ 中，$DF^{2} + FC^{2} = DC^{2}$，
∴ $10^{2} + (y - x)^{2} = (x + y)^{2}$。
∴ $y = \frac{25}{x}$。