《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且AB⊥CD于点E,连接AC,OC,BC.
(1) 求证：∠ACO = ∠BCD；
(2) 若EB = 8 cm,CD = 24 cm,求⊙O的半径.13cm

答案：
(1) 证明：
∵ $ AB \perp CD $，
∴ $ \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD} $。
∴ $ \angle A = \angle BCD $。
∵ $ OA = OC $，
∴ $ \angle A = \angle ACO $。
∴ $ \angle ACO = \angle BCD $。
(2) 解：设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $ cm，
则 $ OC = r $，
$ OE = OB - BE = r - 8 $。
∵ $ AB \perp CD $，
∴ $ CE = DE = \frac{1}{2}CD $
$ = \frac{1}{2} \times 24 = 12 $。
在 $ \text{Rt} \triangle OCE $ 中，
$ 12^{2} + (r - 8)^{2} = r^{2} $，
解得 $ r = 13 $。
∴ $ \odot O $ 的半径为 $ 13 $ cm。

2. (2024·安徽) 如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA = FE.
(1) 求证：CD⊥AB；
(2) 设FM⊥AB,垂足为M. 若OM = OE = 1,求AC的长为4√2.

答案：
(1) 证明：
∵ $ FA = FE $，
∴ $ \angle FAE = \angle AEF $。
∵ $ \angle FAE = \angle BCE $，
$ \angle AEF = \angle CEB $，
∴ $ \angle CEB = \angle BCE $。
∵ $ CE $ 平分 $ \angle ACD $，
∴ $ \angle ACE = \angle DCE $。
又
∵ $ AB $ 是直径，
∴ $ \angle ACB = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle CEB + \angle DCE = \angle BCE + \angle ACE $
$ = \angle ACB = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle CDE = 90^{\circ} $，即 $ CD \perp AB $。
(2) 解：由
(1) 知
$ \angle BEC = \angle BCE $，
∴ $ BE = BC $。
∵ $ AF = EF $，$ FM \perp AB $，
∴ $ MA = ME = OM + OE = 2 $。
∴ $ AE = 4 $。
∴ $ OA = OB = AE - OE = 3 $。
∴ $ AB = 6 $，
$ BC = OB - OE = 2 $。
在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 2 $，
$ \angle ACB = 90^{\circ} $，
∴ $ AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} $
$ = \sqrt{6^{2} - 2^{2}} = 4\sqrt{2} $。

3. 如图,在△ABC中,AC = BC,D是AB上一点,⊙O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF//BC,交⊙O于点F. 求证：
(1) 四边形DBCF是平行四边形；
(2) AF = EF.

答案：
证明：
(1)
∵ $ AC = BC $，
∴ $ \angle BAC = \angle B $。
∵ $ DF // BC $，
∴ $ \angle ADF = \angle B $。
∵ $ \angle BAC = \angle CFD $，
∴ $ \angle ADF = \angle CFD $。
∴ $ BD // CF $。
∵ $ DF // BC $，
∴ 四边形 $ DBCF $ 是平行四边形。
(2) 如图，连接 $ AE $，

∵ $ \angle ADF = \angle B $，$ \angle ADF = \angle AEF $，
∴ $ \angle AEF = \angle B $。
∵ 四边形 $ AECF $ 是 $ \odot O $ 的内接四边形，
∴ $ \angle ECF + \angle EAF = 180^{\circ} $。
∵ $ BD // CF $，
∴ $ \angle ECF + \angle B = 180^{\circ} $。
∴ $ \angle EAF = \angle B $。
∴ $ \angle AEF = \angle EAF $。
∴ $ AF = EF $。

4. 【变式练习】如图,已知在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$,OC与AD相交于点E. 求证：
(1) AD//BC；
(2) 四边形BCDE是菱形.

答案：
证明：
(1) 如图，连接 $ BD $，

∵ $ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} $，
∴ $ \angle ADB = \angle CBD $。
∴ $ AD // BC $。
(2) 如图，连接 $ CD $，
设 $ OC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ F $。
∵ $ AD // BC $，
∴ $ \angle EDF = \angle CBF $。
∵ $ \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} $，
∴ $ BC = CD $。
∴ $ BF = DF $。
又
∵ $ \angle DFE = \angle BFC $，
∴ $ \triangle DEF \cong \triangle BCF (\text{ASA}) $。
∴ $ DE = BC $。
∴ 四边形 $ BCDE $ 是平行四边形。
又
∵ $ BC = CD $，
∴ 四边形 $ BCDE $ 是菱形。