《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (BS 九上 P53 改编)[动点与面积问题]如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 6cm,BC= 8cm$,点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以 1 cm/s 的速度移动,在 C 点停止,点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动,在 B 点停止.
(1)如果点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,经过 2 s 后,$S_{\triangle QPC}=$8$cm^{2}.$
(2)如果点 P 从点 A 先出发 2 s,点 Q 再从点 C 出发,那么点 Q 移动几秒钟后,$S_{\triangle QPC}= 4cm^{2}$?
(3)如果点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,经过几秒钟后,$PQ= BQ$?$(-10 + 8\sqrt{2})$

答案： 解：
(1)8
(2)设点P出发t s时，
$S_{\triangle QPC}=4cm^{2}$，
则点Q移动的时间为$(t - 2)s$。
依题意，得
$\frac{1}{2}(6 - t)\cdot 2(t - 2) = 4$，
解得$t_{1}=t_{2}=4$。
$\therefore t - 2 = 2$。
答：点Q从点C出发2s后，
$S_{\triangle QPC}=4cm^{2}$。
(3)设经过x s后，$PQ = BQ$，
则$PC = (6 - x)cm$，
$QC = 2xcm$，
$BQ = (8 - 2x)cm$。
$\therefore PQ = BQ = (8 - 2x)cm$。
在$Rt\triangle PCQ$中，
$(6 - x)^{2}+(2x)^{2}=(8 - 2x)^{2}$，
解得$x_{1}=-10 + 8\sqrt{2}$，
$x_{2}=-10 - 8\sqrt{2}$(不合题意，舍去)。
答：经过$(-10 + 8\sqrt{2})s$后，
$PQ = BQ$。

2. (BS 九上 P58)[一元二次方程与函数结合]如图,一次函数$y= -2x+3$的图象交x轴于点 A,交 y 轴于点 B,点 P 在线段 AB 上(不与点 A,B 重合),过点 P 分别作 OA 和 OB 的垂线,垂足为 C,D. 当点 P 在何处时,矩形OCPD 的面积为 1?
当点P坐标为$(1,1)$或$(\frac{1}{2},2)$时，矩形OCPD的面积为1。

答案： 解：令$y = 0$，得$-2x + 3 = 0$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
$\therefore$点A坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
设点P的横坐标为a。
$\because$点P在线段AB上(不与点A，B重合)，
$\therefore$点P的纵坐标为$-2a + 3$，
$0 ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。
$\because$矩形OCPD面积为1，
$\therefore a(-2a + 3)=1$。
整理，得$2a^{2}-3a + 1 = 0$。
因式分解，得
$(a - 1)(2a - 1)=0$。
解得$a_{1}=1$，$a_{2}=\frac{1}{2}$。
$\therefore$点P坐标为$(1,1)$或$(\frac{1}{2},2)$。
即当点P坐标为$(1,1)$或$(\frac{1}{2},2)$时，矩形OCPD的面积为1。