《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

5. 填空:
(1)抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$向上平移1个单位长度,得到的抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^{2}+1$;
(2)抛物线$y = -3x^{2}$向下平移2个单位长度,得到的抛物线解析式为$y = -3x^{2}-2$.

答案： 1.$y=\frac{1}{3}x^{2}+1$ 2.$y = -3x^{2}-2$

6. 填空:
(1)抛物线$y = 4x^{2}$向下平移1个单位长度,得到的抛物线解析式为$y = 4x^{2}-1$;
(2)抛物线$y = -x^{2}$向下平移4个单位长度得到抛物线$y = -x^{2}-4$.

答案： 1.$y = 4x^{2}-1$ 2.下 $4$

|二次函数|开口方向|对称轴|顶点坐标|最大(小)值|增减性|
|----|----|----|----|----|----|
|$y = 2x^{2}-3$|向上|$y$轴|$(0,-3)$|当$x = $0时,$y$有最小值为-3|当$x ＞ 0$时,$y随x$的增大而增大|
|$y = -\frac{1}{2}x^{2}+1$|向下|$y$轴|$(0,1)$|当$x = $0时,$y$有最大值为1|当$x ＜ 0$时,$y随x$的增大而增大|

答案： 【解析】：
1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其性质如下：
当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下。对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。当$a\gt0$时，抛物线开口向上，函数有最小值，当$x =-\frac{b}{2a}$时，$y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；当$a\lt0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，当$x =-\frac{b}{2a}$时，$y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。在对称轴左侧和右侧，函数的增减性不同。
对于二次函数$y = 2x^{2}-3$，其中$a = 2\gt0$，$b = 0$，$c=-3$。
因为$a = 2\gt0$，所以开口方向向上。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\times2}=0$，即$y$轴。
把$x = 0$代入函数$y = 2x^{2}-3$得$y=2\times0^{2}-3=-3$，所以顶点坐标为$(0,-3)$。
由于$a\gt0$，所以当$x = 0$时，$y$有最小值为$-3$。
因为抛物线开口向上，对称轴为$x = 0$，所以当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
对于二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}+1$，其中$a=-\frac{1}{2}\lt0$，$b = 0$，$c = 1$。
因为$a=-\frac{1}{2}\lt0$，所以开口方向向下。
对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\times(-\frac{1}{2})}=0$，即$y$轴。
把$x = 0$代入函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}+1$得$y=-\frac{1}{2}\times0^{2}+1 = 1$，所以顶点坐标为$(0,1)$。
由于$a\lt0$，所以当$x = 0$时，$y$有最大值为$1$。
因为抛物线开口向下，对称轴为$x = 0$，所以当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】：
|二次函数|开口方向|对称轴|顶点坐标|最大(小)值|增减性|
|----|----|----|----|----|----|
| $y = 2x^{2}-3$ | 向上 | $y$轴 | $(0,-3)$ | 当$x = 0$时，$y$有最小值为$-3$ | 当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大 |
| $y =-\frac{1}{2}x^{2}+1$ | 向下 | $y$轴 | $(0,1)$ | 当$x = 0$时，$y$有最大值为$1$ | 当$x\lt0$时，$y$随$x$的增大而增大 |

8. (2024·香洲区校级月考)将抛物线$y = 3x^{2}$向上平移5个单位长度,得到的抛物线的解析式为(C)
A. $y = 3(x + 5)^{2}$
B. $y = 3(x - 5)^{2}$
C. $y = 3x^{2}+5$
D. $y = 3x^{2}-5$

答案： C

9. 关于二次函数$y = 2x^{2}-8$,下列叙述正确的是(B)
A. 函数的图象开口向下
B. 对称轴是$y$轴
C. 当$x = 0$时,$y有最大值-8$
D. 当$x ＜ 0$时,$y随x$的增大而增大

答案： B

10. (2024·番禺区月考)抛物线$y = -2x^{2}-1$的顶点坐标是(A)
A. $(0,-1)$
B. $(-1,0)$
C. $(2,-1)$
D. $(-1,-2)$

答案： A

11. 抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}-1$的开口向上;当$x$$\lt0$时,$y随x$的增大而减小.

答案： 上；$\lt0$

12. (2024·海珠区校级月考)将抛物线$y = x^{2}+1$向上平移1个单位长度,所得到的新抛物线的解析式是(C)
A. $y = (x - 1)^{2}+1$
B. $y = (x + 1)^{2}+1$
C. $y = x^{2}+2$
D. $y = x^{2}$

答案： C

13. 在同一坐标系中,作$y = 3x^{2}+2$,$y = -3x^{2}-1$,$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象,则它们(A)
A. 都是关于$y$轴对称
B. 顶点都在原点
C. 都是抛物线开口向上
D. 以上都不对

答案： A

14. (2024·天河区校级月考)在同一平面直角坐标系中,一次函数$y = ax + c$和二次函数$y = ax^{2}+c$的图象大致为(D)

答案： D