《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
推论3:圆内接四边形的对角互补.
几何语言:如图,$\because$⊙O是四边形ABCD的外接圆,
$\therefore$∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°

答案： 互补
⊙O是四边形ABCD的外接圆
∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°

7. 如图,四边形$ABCD是\odot O$的内接四边形,若$∠D= 3∠B$,求$∠B$的度数.

解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
　∴∠D + ∠B = 180°.
　∵∠D = 3∠B，
　∴3∠B + ∠B = 180°.
　∴∠B = 45°.

答案： 解:
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D + ∠B = 180°.
∵∠D = 3∠B，
∴3∠B + ∠B = 180°.
∴∠B = 45°.

8. 如图,四边形$ABCD为\odot O$的内接四边形,$E是射线BC$上一点.
(1)若$∠A= 70^{\circ }$,则$∠DCE$的度数为____70°;
(2)求证:$∠DCE= ∠A$.

答案：
(1)70°
(2)证明:
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°.
　又
∵∠BCD + ∠DCE = 180°，
∴∠DCE = ∠A.

9. (2024·西藏)如图,$AC为\odot O$的直径,点$B$,$D在\odot O$上,$∠ABD= 60^{\circ },CD= 2$,则$AD$的长为(C)

A. 2
B. $2\sqrt {2}$
C. $2\sqrt {3}$
D. 4

答案： C

10. 【原创题】(2024·越秀区期末改编)如图,点$A$,$B$,$C在\odot O$上.
(1)若$∠B= 100^{\circ }$,则$∠AOC= $160°;
(2)若$∠AOC= 100^{\circ }$,则$∠B= $130°.

答案：
(1)160°　
(2)130°

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以$AB为直径的半圆O分别交BC$,$AC于点D$,$E$,连接$DE$,$OD$.
(1)求证:$\overset{\frown }{BD}= \overset{\frown }{ED}$;
(2)当$\overset{\frown }{AE}$,$\overset{\frown }{BE}的度数之比为4:5$时,求四边形$ABDE$四个内角的度数.

答案：

(1)证明:如图，连接AD，
　　　　　
　
∵AB是直径，
∴∠ADB = 90°.
　
∵AB = AC，
∴∠BAD = ∠CAD.
　
∴$\overset{\frown}{BD}$ = $\overset{\frown}{ED}$.
(2)解:
∵$\overset{\frown}{AE}$ + $\overset{\frown}{BE}$ = 180°，$\overset{\frown}{AE}$与$\overset{\frown}{BE}$的度数之比为4:5，
　
∴$\overset{\frown}{AE}$ = 180°×$\frac{4}{9}$ = 80°，
　　$\overset{\frown}{BE}$ = 180°×$\frac{5}{9}$ = 100°.
　
∵$\overset{\frown}{BD}$ = $\overset{\frown}{ED}$，
　
∴$\overset{\frown}{BD}$ = $\overset{\frown}{ED}$ = $\frac{1}{2}\overset{\frown}{BE}$ = 50°.
　
∴$\overset{\frown}{AD}$ = $\overset{\frown}{AE}$ + $\overset{\frown}{ED}$ = 130°.
　
∴∠BAE = $\frac{1}{2}\overset{\frown}{BE}$ = 50°，
　　∠B = $\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}$ = 65°.
　
∵∠AED + ∠B = 180°，
　　∠BDE + ∠BAE = 180°，
　
∴∠AED = 115°，∠BDE = 130°.
　
∴∠BAE = 50°，∠B = 65°，
　　∠BDE = 130°，∠AED = 115°.

12. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C是\overset{\frown }{BD}$的中点,$CE⊥AB于点E$,$BD交CE于点F$.
(1)若$CD= 6,AC= 8$,则$\odot O$的半径为____5;
(2)求证:$CF= BF$.

答案：
(1)5
(2)证明:
∵AB是⊙O的直径，
　
∴∠ACB = 90°.
　　又
∵CE⊥AB，
　
∴∠CEB = 90°.
　
∴∠BCE = 90°−∠ACE = ∠A.
　
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DC}$ = $\overset{\frown}{BC}$.
　
∴∠CBD = ∠A.
∴∠CBD = ∠BCE.
　
∴CF = BF.