《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

7. 已知二次函数$y与自变量x$的部分对应值如下表所示：

则该二次函数的解析式为$y=-x^{2}+2x$。

答案： $y=-x^{2}+2x$

8. 若抛物线$y = ax^{2}$过点$(-2,4)$,$(-3,k)$,则$a = $1,$k = $9。

答案： $1$ $9$

9. (2024·番禺区期中改编)抛物线$y = - x^{2}+bx + c经过点A(-1,0)$,$B(0,3)$。
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标。

答案： 【解析】：
1. 首先求抛物线的解析式：
已知抛物线$y = -x^{2}+bx + c$经过点$A(-1,0)$，$B(0,3)$。
把点$A(-1,0)$，$B(0,3)$分别代入$y=-x^{2}+bx + c$中，得到方程组$\begin{cases}-(-1)^{2}+b\times(-1)+c = 0\\-0^{2}+b\times0 + c = 3\end{cases}$。
由$-0^{2}+b\times0 + c = 3$可得$c = 3$。
把$c = 3$代入$-(-1)^{2}+b\times(-1)+c = 0$，即$-1 - b+3 = 0$。
化简$-1 - b+3 = 0$得$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
所以抛物线的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。
2. 然后求抛物线的对称轴和顶点坐标：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
在抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$中，$a=-1$，$b = 2$，$c = 3$。
对称轴$x=-\frac{2}{2\times(-1)} = 1$。
把$x = 1$代入$y=-x^{2}+2x + 3$得$y=-1^{2}+2\times1 + 3=-1 + 2+3 = 4$，所以顶点坐标为$(1,4)$。
【答案】：1. $y=-x^{2}+2x + 3$ 2. 对称轴为直线$x = 1$，顶点坐标为$(1,4)$

10. (2023·中山校级期中)如图,已知二次函数$y = x^{2}+bx + c的图象经过点A(1,-2)$,$B(0,-5)$。
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；表达式为$y=x^{2}+2x - 5$，顶点坐标为$(-1,-6)$
(2)当$y \leq - 2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围。$-3\leq x\leq1$

答案： 【解析】：
(1)
已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象经过点$A(1,-2)$，$B(0,-5)$。
把$B(0,-5)$代入$y = x^{2}+bx + c$中，可得$c=-5$。
把$A(1,-2)$，$c = - 5$代入$y = x^{2}+bx + c$中，得到$-2=1^{2}+b\times1-5$，即$-2 = 1 + b - 5$，$b=2$。
所以二次函数表达式为$y=x^{2}+2x - 5$。
将二次函数$y=x^{2}+2x - 5$化为顶点式：$y=(x + 1)^{2}-6$，所以顶点坐标为$(-1,-6)$。
(2)
因为$y=x^{2}+2x - 5=(x + 1)^{2}-6$，当$y=-2$时，$-2=(x + 1)^{2}-6$，$(x + 1)^{2}=4$，$x+1=\pm2$，解得$x_1 = 1$，$x_2=-3$。
由二次函数图象开口向上，当$y\leq - 2$时，$x$的取值范围是$-3\leq x\leq1$。
【答案】：
(1) 二次函数表达式为$y=x^{2}+2x - 5$，顶点坐标为$(-1,-6)$；
(2) $-3\leq x\leq1$。

11. 【原创题】如图,在$x轴上存在一点P$,使$PA + PB$的值最小,则点$P$的坐标为______(2,0)。

答案： $(2,0)$

12. 【核心素养】如图,抛物线$y = x^{2}-4x + 3与y轴交于点A$,顶点为$B$。
(1)求$A,B$两点的坐标。
(2)$x轴上是否存在一点P$,使得$PA + PB$的值最小？若点$P$存在,求出点$P$的坐标。
(1)$A$(0,3)，$B$(2,-1)；
(2)存在，$P$(3,0)。

答案： 【解析】：
(1)对于抛物线$y = x^{2}-4x + 3$，
当$x = 0$时，$y=0^{2}-4\times0 + 3=3$，所以$A(0,3)$。
将抛物线$y = x^{2}-4x + 3$化为顶点式：$y=(x - 2)^{2}-1$，所以顶点$B$的坐标为$(2,-1)$。
(2)作点$A$关于$x$轴的对称点$A'$，则$A'(0,-3)$。
设直线$A'B$的解析式为$y = kx + b$，把$A'(0,-3)$，$B(2,-1)$代入可得：
$\begin{cases}b=-3\\2k + b=-1\end{cases}$，
将$b = - 3$代入$2k + b=-1$得：$2k-3=-1$，$2k=2$，解得$k = 1$。
所以直线$A'B$的解析式为$y=x - 3$。
当$y = 0$时，$x-3=0$，解得$x = 3$，所以点$P$的坐标为$(3,0)$。
【答案】：
(1)$A(0,3)$，$B(2,-1)$；
(2)存在，$P(3,0)$。