《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

9. (2024·广州期中)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点D落在线段AB上,连接BE.
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断线段BE与线段AB的位置关系,并说明理由；
(3)若BE= BF,则∠A= ______72°.

答案：
(1)证明:
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,
∴AC=DC,∠A=∠CDE.
∴∠A=∠CDA.
∴∠CDA=∠CDE.
∴DC平分∠ADE.
(2)解:BE⊥AB.理由如下:
由旋转得∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠BCE=90°−∠BCD=∠ACD.
∵BC=EC,AC=DC,
∴∠CBE=∠CEB= $\frac{1}{2}$(180°−∠BCE),
∠A=∠CDA= $\frac{1}{2}$(180°−∠ACD).
∴∠CBE=∠A.
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=∠A+∠ABC=90°.
∴BE⊥AB.
(3)解:
∵∠ABE=90°,
∴∠BDE=90°−∠BEF.
由
(1)
(2)得∠A=∠CDA=∠CDE =∠CBE,
∵BE=BF,
∴∠BEF=∠BFE
=$\frac{1}{2}$(180°−∠CBE)
=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)
=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠BDE=90°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)
=$\frac{1}{2}$∠A.
∵∠CDA+∠CDE+∠BDE=180°,
∴∠A+∠A+$\frac{1}{2}$∠A=180°.
∴∠A=72°.故答案为72°.

10. 如图,在△ABC中,AB= AC,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB= 8,∠BAC= 45°,当四边形ADFC是平行四边形时,求△ABD的面积.
(1)证明:由旋转的性质，得△ABC≌△ADE,
又∵AB=AC,
∴AE=AD=AC=AB,
∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.
在△AEC和△ADB中,
$\begin{cases}AE = AD\\∠CAE = ∠BAD\\AC = AB\end{cases}$
∴△AEC≌△ADB(SAS).
(2)解:∵四边形ADFC是平行四边形,
∴AC//DF.
∴∠ABD=∠BAC=45°.
又∵AD=AB=8,
∴∠ADB=∠ABD=45°.
∴∠DAB=90°.
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD$
=$\frac{1}{2}$×8×8=32.

答案：
(1)证明:由旋转的性质，得△ABC≌△ADE,
又
∵AB=AC,
∴AE=AD=AC=AB,
∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.
在△AEC和△ADB中,
$\begin{cases}AE = AD\\∠CAE = ∠BAD\\AC = AB\end{cases}$
∴△AEC≌△ADB(SAS).
(2)解:
∵四边形ADFC是平行四边形,
∴AC//DF.
∴∠ABD=∠BAC=45°.
又
∵AD=AB=8,
∴∠ADB=∠ABD=45°.
∴∠DAB=90°.
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD$
=$\frac{1}{2}$×8×8=32.

11. (2024·香洲区校级月考)如图,E为正方形ABCD外一点,∠AEB= 90°.将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于点H.
(1)试判断四边形AFHE的形状,并说明理由；
四边形AFHE是正方形.理由如下:
∵Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF,
∴∠FAE=90°,AF=AE,
∠AFD=∠AEB=90°,
∠DAF=∠BAE.
∴∠AFH=90°.
∴四边形AFHE是矩形
又∵AE=AF,
∴矩形AFHE是正方形
(2)已知BH= 7,BC= 13,求DH的长.
DH的长为17.

答案： 解:
(1)四边形AFHE是正方形.理由如下:
∵Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF,
∴∠FAE=90°,AF=AE,
∠AFD=∠AEB=90°,
∠DAF=∠BAE.
∴∠AFH=90°.
∴四边形AFHE是矩形
又
∵AE=AF,
∴矩形AFHE是正方形
(2)设AE=x,
则EH=FH=AE=x.
∵BH=7,BC=13,
∴BE=EH+BH=x+7,
AB=BC=13.
在Rt△AEB中,
$AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$,
即$x^{2}+(x+7)^{2}=13^{2}$,
解得x=5或x=−12(不合题意,舍去)，
∴FH=5,BE=5+7=12.
∴DF=BE=12.
∴DH=DF+FH=12+5=17.

12. (2024·新会区校级月考)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°),得到矩形AEFG,点F恰好落在CD的延长线上.
(1)求证：FD= CD；
(2)求证：DE的延长线经过点B.

答案：
证明:
(1)如图,连接AF,

由旋转可得AE=AB=CD,
∠AEF=∠ABC=∠ADC=90°,
EF=BC=AD,
∴∠ADF=90°.
在Rt△AEF和Rt△FDA中,
$\begin{cases}AF = FA\\EF = DA\end{cases}$
∴Rt△AEF≌Rt△FDA(HL).
∴AE=FD.
又
∵AE=CD,
∴FD=CD.
(2)由
(1)知,AE=FD,
在△ADE和△FED中,
$\begin{cases}AD = FE\\AE = FD\\DE = ED\end{cases}$
∴△ADE≌△FED(SSS).
∴∠EDA=∠DEF.
由旋转知AE=AB,
∴∠AEB=∠ABE.
在Rt△ABD中,
∠BDA+∠ABD=90°,
∴∠DEF+∠AEB=90°.
∴∠AEB+∠DEF+∠AEF=180°,即DE的延长线经过点B.