《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

5. 如图是抛物线形的拱桥,水面$AB= 4$米,拱顶C离水面2米.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若水面下降1米,则水面的宽度是多少米？
(1) 解: ∵ $AB = 4$ 米, $OC = 2$ 米,
∴ 点 $A$ 坐标为 $( - 2,0)$, 点 $B$ 坐标为 $(2,0)$, 点 $C$ 坐标为 $(0,2)$.
设抛物线的解析式为
$y = a(x + 2)(x - 2).$
将点 $C(0,2)$ 代入, 得
$2 = a(0 + 2)(0 - 2).$
解得 $a = - \frac{1}{2}.$
∴ 所求抛物线的解析式为
$y = - \frac{1}{2}(x + 2)(x - 2),$
即
$y =$$- \frac{1}{2}x^{2} + 2$.
(2) 解: 当 $y = - 1$ 时,
$- \frac{1}{2}x^{2} + 2 = - 1.$
解得 $x_{1} = \sqrt{6}$, $x_{2} = - \sqrt{6}.$
∴ 水面宽度为$2\sqrt{6}$米.

答案： 解:
(1)
∵ $AB = 4$ 米, $OC = 2$ 米,
∴ 点 $A$ 坐标为 $( - 2,0)$, 点 $B$ 坐标为 $(2,0)$, 点 $C$ 坐标为 $(0,2)$.
设抛物线的解析式为
$y = a(x + 2)(x - 2).$
将点 $C(0,2)$ 代入, 得
$2 = a(0 + 2)(0 - 2).$
解得 $a = - \frac{1}{2}$.
∴ 所求抛物线的解析式为
$y = - \frac{1}{2}(x + 2)(x - 2),$
即
$y = - \frac{1}{2}x^{2} + 2.$
(2) 当 $y = - 1$ 时,
$- \frac{1}{2}x^{2} + 2 = - 1.$
解得 $x_{1} = \sqrt{6}$, $x_{2} = - \sqrt{6}$.
∴ 水面宽度为 $2\sqrt{6}$ 米.

6. 某隧道横截面为抛物线,建立平面直角坐标系如图所示,其最大高度为6米,OM为12米.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若在隧道C,D处装两个路灯,且路灯的高度为4米,求C,D之间的距离.
(1) 由图可知, 点 $P$ 坐标为 $(6,6)$, 点 $M$ 坐标为 $(12,0)$.
设抛物线的解析式为
$y = a(x - 6)^{2} + 6.$
将点 $M(12,0)$ 代入, 得
$0 = a(12 - 6)^{2} + 6.$
解得 $a = $$-\frac{1}{6}$.
∴ 所求抛物线的解析式为
$y = $$-\frac{1}{6}(x - 6)^{2} + 6$,
即
$y = $$-\frac{1}{6}x^{2} + 2x$.
(2) 当 $y = 4$ 时,
$-\frac{1}{6}x^{2} + 2x = 4.$
解得 $x_{1} = $$6 + 2\sqrt{3}$, $x_{2} = $$6 - 2\sqrt{3}$.
∴
$CD = 6 + 2\sqrt{3} - (6 - 2\sqrt{3})$
$=$$4\sqrt{3}$(米).

答案： 解:
(1) 由图可知, 点 $P$ 坐标为 $(6,6)$, 点 $M$ 坐标为 $(12,0)$.
设抛物线的解析式为
$y = a(x - 6)^{2} + 6.$
将点 $M(12,0)$ 代入, 得
$0 = a(12 - 6)^{2} + 6.$
解得 $a = - \frac{1}{6}$.
∴ 所求抛物线的解析式为
$y = - \frac{1}{6}(x - 6)^{2} + 6,$
即
$y = - \frac{1}{6}x^{2} + 2x.$
(2) 当 $y = 4$ 时,
$- \frac{1}{6}x^{2} + 2x = 4.$
解得 $x_{1} = 6 + 2\sqrt{3}$, $x_{2} = 6 - 2\sqrt{3}$.
∴
$CD = 6 + 2\sqrt{3} - (6 - 2\sqrt{3})$
$= 4\sqrt{3}(\text{米}).$

7. (2024·白云区期中)一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m、宽为2m,隧道最高点P位于AB的中央且距离地面6m,建立如图所示的坐标系.
(1)求抛物线的表达式；
解: (1) 依题意, 得抛物线的顶点坐标为 $(4,6)$,
∴ 设抛物线的表达式为
$y = a(x - 4)^{2} + 6.$
又 ∵ 点 $A(0,2)$ 在抛物线上,
∴
$a(0 - 4)^{2} + 6 = 2,$
解得 $a = - \frac{1}{4}$.
∴ 抛物线的表达式为
$y =$$- \frac{1}{4}(x - 4)^{2} + 6$.
(2) 一辆货车高4m、宽2m,能否从该隧道内通过,为什么？
解: (2) 货车能从该隧道内通过. 理由如下:
令 $y = 4$, 则有
$- \frac{1}{4}(x - 4)^{2} + 6 = 4,$
解得 $x_{1} = 4 + 2\sqrt{2}$, $x_{2} = 4 - 2\sqrt{2}$.
∵
$|x_{1} - x_{2}| = 4\sqrt{2} ＞ 2,$
∴ 货车能从该隧道内通过.

答案： 解:
(1) 依题意, 得抛物线的顶点坐标为 $(4,6)$,
∴ 设抛物线的表达式为
$y = a(x - 4)^{2} + 6.$
又
∵ 点 $A(0,2)$ 在抛物线上,
∴
$a(0 - 4)^{2} + 6 = 2,$
解得 $a = - \frac{1}{4}$.
∴ 抛物线的表达式为
$y = - \frac{1}{4}(x - 4)^{2} + 6.$
(2) 货车能从该隧道内通过. 理由如下:
令 $y = 4$, 则有
$- \frac{1}{4}(x - 4)^{2} + 6 = 4,$
解得 $x_{1} = 4 + 2\sqrt{2}$, $x_{2} = 4 - 2\sqrt{2}$.
∵
$|x_{1} - x_{2}| = 4\sqrt{2} ＞ 2,$
∴ 货车能从该隧道内通过.

8.【易错题】某篮球运动员在某次投篮中,球的运动路线是抛物线$y= -\frac{1}{5}x^{2}+3.5$的一部分(如图所示),若命中篮圈中心,求该运动员与篮底的距离l.

解: 当 $y = 3.05$ 时,
$3.05 = - \frac{1}{5}x^{2} + 3.5,$
解得 $x = \pm 1.5$ (负根舍去).
∴ $l = 1.5 + 2.5 =$4(m).

答案： 解: 当 $y = 3.05$ 时,
$3.05 = - \frac{1}{5}x^{2} + 3.5,$
解得 $x = \pm 1.5$ (负根舍去).
∴ $l = 1.5 + 2.5 = 4(m)$.