《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

旋转的三要素：旋转中心、旋转角和旋转方向.
旋转的性质：
(1)旋转前后的图形全等；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)同一个旋转,旋转角都相等.

答案： 旋转中心 旋转角 旋转方向
(1)全等
(2)相等
(3)相等

1. 如图,$\triangle ABC绕点C旋转得到\triangle DEC$,$\angle A= 30^{\circ}$,$\angle B= 90^{\circ}$,$BC= 1$,$AC= 2$,点$B$,$C$,$D$在同一直线上.
(1)$CE=$1,$CD=$2；
(2)$\angle D=$30$^{\circ}$,旋转角=120$^{\circ}$.

答案：
(1)1 2
(2)30 120

2. 例 如图,一块等腰直角三角板$ABC绕点C旋转到\triangle EDC$的位置,点$A$,$C$,$D$共线,$AB= 1$.
(1)旋转角= ______135$^{\circ}$；
(2)连接$BE$,求$BE$的长.

答案： 解:
(1)135
(2)
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴$∠ACB=45°,AB=BC=1,AC=\sqrt{2}.$由旋转的性质,得$∠ECD=∠ACB=45°,CE=AC=\sqrt{2},$
∴∠BCE=180°-∠ACB-∠ECD
=180°-45°-45°=90°.
在Rt△BCE中$,BE=\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}.$
∴BE的长为$\sqrt{3}.$

3. 如图,等边$\triangle ABC$的边长为2,将$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转得到$\triangle DEC,A,C,E$三点共线.(1)旋转角=120$^{\circ}；$(2)连接AD,求AD的长.

答案： 解:
(1)120
(2)由△ABC为等边三角形和旋转的性质,得AC=DC,∠DCE=60°,
∴∠CAD=∠ADC=30°,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE
=30°+60°=90°.
在Rt△ADE中,AE=2AC=4,
DE=2,
∴$AD=\sqrt{AE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}.$
∴AD的长为$2\sqrt{3}.$

4. 例 (2024·中山开学改编)如图,在正方形$ABCD$中,$\triangle ABE绕点B顺时针旋转90^{\circ}到\triangle CBE'$的位置,若$AE= 1$,$BE= 2$,$CE= 3$,连接$EE'$.
(1)$\triangle BEE'$是______等腰直角三角形；

(2)判断$\triangle EE'C$的形状并证明.

答案： 解:
(1)等腰直角
(2)△EE'C是直角三角形.
证明如下:
由旋转知,BE'=BE=2,
∠EBE'=90°,CE'=AE=1.
∴$EE'=\sqrt{BE^{2}+BE'^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}.$
∵$EE'^{2}+CE'^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+1^{2}=9.$而$CE^{2}=3^{2}=9,$
∴$EE'^{2}+CE'^{2}=CE^{2}.$
∴△EE'C是直角三角形.

5. (2024·蓬江区月考)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点A顺时针旋转得到\triangle ADE$,使点$C的对应点E落在AB$上,连接$BD$.
(1)若$\angle ABC= 38^{\circ}$,求$\angle BDE$的度数；26°
(2)若$AC= 6$,$BC= 8$,求$BD$的长.$4\sqrt{5}$

答案： 解:
(1)
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使点C的对应点E落在AB上,
∴∠ADE=∠ABC=38°,
∠AED=∠C=90°,AD=AB.
∴∠DAE=90°-∠ADE
=52°.
∵AB=AD,
∴$∠ADB=∠ABD=\frac{1}{2}(180°-∠DAB)=\frac{1}{2}×(180°-52°)=64°.$
∴∠BDE=∠ADB-∠ADE
=64°-38°=26°.
(2)在Rt△ABC中,
∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.$
∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,使点C的对应点E落在AB上,
∴∠AED=∠C=90°,
AE=AC=6,DE=BC=8.
∴BE=AB-AE=10-6=4.
在Rt△BDE中$,BD=\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}.$