《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

步骤一：分析探究部分
（1）过圆外一点P可作⊙O的2条切线；
（2）左图是轴对称图形，对称轴是直线OP。
步骤二：分析切线长定理部分
从圆外一点P可以引圆的2条切线，它们的切线长相等，点P与圆心的连线平分两条切线的夹角。
步骤三：分析几何语言部分
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA = PB，∠APO=∠BPO 。

答案： 本题可根据切线长定理的相关知识进行填空。
步骤一：分析探究部分
（1）过圆外一点$P$可作$\odot O$的$\boldsymbol{2}$条切线；
（2）左图是**轴对称**图形，对称轴是**直线$OP$**。
步骤二：分析切线长定理部分
从圆外一点$P$可以引圆的$\boldsymbol{2}$条切线，它们的切线长$\boldsymbol{相等}$，点$P$与圆心的连线$\boldsymbol{平分}$两条切线的夹角。
步骤三：分析几何语言部分
$\because$$\boldsymbol{PA、PB是\odot O的切线}$，
$\therefore$$\boldsymbol{PA = PB}$，$\boldsymbol{\angle APO=\angle BPO}$ 。
综上，答案依次为：$\boldsymbol{2}$；**轴对称**；**直线$\boldsymbol{OP}$**；$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{相等}$；$\boldsymbol{平分}$；$\boldsymbol{PA、PB是\odot O的切线}$；$\boldsymbol{PA = PB}$；$\boldsymbol{\angle APO=\angle BPO}$ 。

1. 例 如图,$ PA $,$ PB 分别切\odot O于点 A $,$ B $,$\angle P = 60^{\circ}$,$ PA = 4 $,则弦$ AB $的长是____4。

答案： 4

2. 如图,$ PA $,$ PB 是\odot O$的两条切线,$ A $,$ B $是切点,若$\angle APB = 60^{\circ}$,$ PO = 4 $,则$\odot O$的半径等于2。

答案： 2

3. 例(RJ九上P101改编)如图,$ PA $,$ PB 是\odot O$的切线,$ A $,$ B $为切点,$ AC 是\odot O$的直径,$\angle P = 60^{\circ}$。
(1)求$\angle BAC$的度数；
(2)当$ OA = 2 $时,求$ AB $的长。

答案：
解:
(1)
∵$PA,PB$是$\odot O$的切线,
∴$AP=BP$.
∵$∠P=60^{\circ}$，
∴$∠PAB=60^{\circ}$.
∵$AC$是$\odot O$的直径,
∴$∠PAC=90^{\circ}$.
∴$∠BAC=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$.
(2)如图,连接$OP$,
　　　　
∵$PA,PB$是$\odot O$的切线,
∴$∠APO=∠BPO$
　　　　　=$\frac{1}{2}∠APB=30^{\circ}$.
　在$Rt△AOP$中,
　$OA=2$，$∠APO=30^{\circ}$，
∴$OP=4$.
　由勾股定理，得
　$AP=\sqrt{OP^{2}-OA^{2}}=2\sqrt{3}$;
∵$AP=BP$，$∠APB=60^{\circ}$，
∴$△APB$是等边三角形.
∴$AB=AP=2\sqrt{3}$;

4. 如图,$ PA $,$ PB $是$\odot O$的切线,$ A $,$ B $为切点,$ AC $是$\odot O$的直径,$\angle C = 50^{\circ}$。
(1)求$\angle APB$的度数；

解:∵$PA,PB$是$\odot O$的切线，
　∴$∠PAO=∠PBO=90^{\circ}$.
　∵$OB=OC$，
　∴$∠OBC=∠C=50^{\circ}$.
　∴$∠AOB=∠OBC+∠C=100^{\circ}$.
　∴$∠APB=360^{\circ}-∠PAO-∠AOB -∠PBO$
　　　　　=$360^{\circ}-90^{\circ}-100^{\circ}-90^{\circ}=$$80^{\circ}$.
(2)连接$ OP $,求证：$ OP // BC $。
证明:由切线长定理,得
　$PA=PB$，$∠APO=∠BPO$.
　在$△PAO$和$△PBO$中,
　$\begin{cases}PA=PB\\∠APO=∠BPO\\PO=PO\end{cases}$
　∴$△PAO≌△PBO$$(SAS)$.
　∴$∠AOP=∠BOP$
　　　　　=$\frac{1}{2}∠AOB=$$50^{\circ}$.
　∵$∠C=50^{\circ}$，
　∴$∠AOP=∠OBC=50^{\circ}$.
　∴$OP// BC$.

答案：
(1)解:
∵$PA,PB$是$\odot O$的切线，
∴$∠PAO=∠PBO=90^{\circ}$.
∵$OB=OC$，
∴$∠OBC=∠C=50^{\circ}$.
∴$∠AOB=∠OBC+∠C=100^{\circ}$.
∴$∠APB=360^{\circ}-∠PAO-∠AOB -∠PBO$
　　　　　=$360^{\circ}-90^{\circ}-100^{\circ}-90^{\circ}=80^{\circ}$.
(2)证明:由切线长定理,得
　$PA=PB$，$∠APO=∠BPO$.
　在$△PAO$和$△PBO$中,
　$\begin{cases}PA=PB\\∠APO=∠BPO\\PO=PO\end{cases}$
∴$△PAO≌△PBO(SAS)$.
∴$∠AOP=∠BOP$
　　　　　=$\frac{1}{2}∠AOB=50^{\circ}$.
∵$∠C=50^{\circ}$，
∴$∠AOP=∠OBC=50^{\circ}$.
∴$OP// BC$.

5. 如图是一块三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下来的圆与三

角形的三条边都相切？
三角形的内切圆：是指与三角形各边都____的圆。
三角形的内心：是指内切圆的圆心,是三角形三条____的交点,它到三角形的____相等。

答案：
解:
(1)分别作$∠B,∠C$的平分线相交于点$P$;
(2)过点$P$作线段$BC$的垂线交$BC$于点$E$;
(3)以点$P$为圆心,线段$PE$长为半径画圆.如图所示，圆$P$即为所求.
　　　　　
三角形的内切圆:相切
三角形的内心:
角平分线　三边距离