《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.

【实践操作】
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)? 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)

答案：
解:
(1) 滤纸能紧贴此漏斗内壁. 理由如下:
依题意, 得围成圆锥形滤纸的扇形圆心角 $ n_{1} $ 的度数为 $ 180^{\circ} $,
设圆锥形漏斗所对应的扇形圆心角的度数为 $ n_{2} $.
依题意, 得 $ 7\pi=\frac{n_{2}\pi\times7}{180} $,
解得 $ n_{2}=180^{\circ} $.
$ \therefore n_{1}=n_{2} $.
$ \therefore $ 滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2) 如图 3, 过点 $ C $ 作 $ CF\perp DE $ 于点 $ F $,

则 $ \angle CFD=90^{\circ} $.
依题意, 得圆锥形滤纸的底面周长为 $ \frac{1}{2}\times10\pi=5\pi(\text{cm}) $,
$ \therefore DE\cdot\pi=5\pi $. $ \therefore DE=5\text{cm} $.
$ \because CD=CE=\frac{1}{2}\times10=5(\text{cm}) $,
$ \therefore DF=\frac{1}{2}DE=\frac{5}{2}(\text{cm}) $.
在 $ \text{Rt}\triangle CDF $ 中,
$ CF=\sqrt{CD^{2}-DF^{2}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}(\text{cm}) $.
$ \therefore V=\pi\times\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\times\frac{5\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{3} $
$ =\frac{125\sqrt{3}}{24}\pi(\text{cm}^{3}) $.
答: 滤纸围成圆锥形的体积是 $ \frac{125\sqrt{3}}{24}\pi\text{cm}^{3} $.