《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

2. (2024·新吴区期末)【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点$A(0,1),B(-b,c)$,以AB为直径作$\odot P$.若$\odot P$交x轴于点$M(m,0),N(n,0)$,则m,n为方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根.
【探究】
(1)由勾股定理,得$AM^{2}= 1^{2}+m^{2},BM^{2}= c^{2}+(-b-m)^{2},AB^{2}= (1-c)^{2}+b^{2}$.在$Rt△ABM$中,$AM^{2}+BM^{2}= AB^{2}$,所以$1^{2}+m^{2}+c^{2}+(-b-m)^{2}= (1-c)^{2}+b^{2}$,化简得$m^{2}+bm+c= 0$.同理可得______.所以m,n为方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个实数根.
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程$x^{2}-3x-2= 0$的两根为横坐标的点M,N.
(3)已知点$A(0,1),B(6,9)$,以AB为直径作$\odot C$,判断$\odot C$与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知点$A(0,a),B(-b,c)$,若以AB为直径的圆与x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是______.

答案：
解:
(1) $ n^{2}+bn+c=0 $
(2) 如图 2, 先在坐标系内找到 $ A(0,1) $, $ B(3,-2) $, 连接 $ AB $,

分别以点 $ A $, $ B $ 为圆心, 大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径画弧, 连接两弧的交点与 $ AB $ 交于点 $ P $, 以点 $ P $ 为圆心, $ AB $ 为直径画圆, 圆与 $ x $ 轴的交点即为所求的点 $ M $, $ N $.
(3) $ \odot C $ 与 $ x $ 轴相切. 理由如下:
依题意, 得 $ x^{2}-6x+9=0 $,
$ \because \Delta=b^{2}-4ac $
$ =(-6)^{2}-4\times1\times9=0 $,
$ \therefore $ 方程 $ x^{2}-6x+9=0 $ 有两个相等的实数根.
$ \therefore \odot C $ 与 $ x $ 轴只有一个交点, 即 $ \odot C $ 与 $ x $ 轴相切.
(4) $ x^{2}+bx+ac=0 $