《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

3. 已知,正方形$ABCD$中,$\angle MAN = 45^{\circ}$,

$\angle MAN绕点A$顺时针旋转,它的两边分别交$CB$,$DC$(或它们的延长线)于点$M$,$N$。
(1)当$\angle MAN绕点A$旋转到如图1所示的位置时,求证：$BM + DN = MN$。
(2)当$\angle MAN绕点A$旋转到如图2所示的位置时,线段$BM$,$DN和MN$之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想。(不需要证明)

答案：

(1) 证明: 如图 1, 在 $ MB $ 的延长线上, 截取 $ B E = D N $, 连接 $ AE $.

在 $ \triangle A B E $ 和 $ \triangle A D N $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { \angle A B E = \angle D, } \\ { B E = D N, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle A B E \cong \triangle A D N ( S A S ) $.
∴ $ A E = A N $, $ \angle E A B = \angle N A D $.
∵ $ \angle B A D = 90 ^ { \circ } $, $ \angle M A N = 45 ^ { \circ } $,
∴ $ \angle B A M + \angle D A N = 45 ^ { \circ } $.
∴ $ \angle E A B + \angle B A M = 45 ^ { \circ } $.
∴ $ \angle E A M = \angle N A M $.
在 $ \triangle A E M $ 和 $ \triangle A N M $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A E = A N, } \\ { \angle E A M = \angle N A M, } \\ { A M = A M, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle A E M \cong \triangle A N M ( S A S ) $.
∴ $ M E = M N $.
又
∵ $ M E = B E + B M $, $ B E = D N $,
∴ $ B M + D N = M N $.
(2) 解: $ D N - B M = M N $. 证明如下:
如图 2, 在 $ D C $ 上截取 $ D F = B M $, 连接 $ A F $,

在 $ \triangle A B M $ 和 $ \triangle A D F $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = A D, } \\ { \angle A B M = \angle D, } \\ { B M = D F, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle A B M \cong \triangle A D F ( S A S ) $.
∴ $ A M = A F $, $ \angle B A M = \angle D A F $.
∴ $ \angle B A M + \angle B A F = \angle B A F + \angle D A F = 90 ^ { \circ } $,
即 $ \angle M A F = \angle B A D = 90 ^ { \circ } $.
∵ $ \angle M A N = 45 ^ { \circ } $,
∴ $ \angle M A N = \angle F A N = 45 ^ { \circ } $.
在 $ \triangle M A N $ 和 $ \triangle F A N $ 中,
$\left\{ \begin{array} { l } { A M = A F, } \\ { \angle M A N = \angle F A N, } \\ { A N = A N, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle M A N \cong \triangle F A N ( S A S ) $.
∴ $ M N = N F $.
∴ $ M N = D N - D F = D N - B M $.
∴ $ D N - B M = M N $.

4.【变式练习】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$,$E是斜边BC$上两点,且$\angle DAE = 45^{\circ}$,将$\triangle ADC绕点A顺时针旋转90^{\circ}$后,得到$\triangle AFB$,连接$EF$。下列结论：
①$\angle EAF = 45^{\circ}$；
②$BF = CD$；
③$EA平分\angle CEF$；
④$BE^{2} + DC^{2} = DE^{2}$。
其中正确的序号是______①②③④。

答案： ①②③④

5.【变式练习】如图,$\triangle ABC$是边长为3的等边三角形,$\triangle BDC$是等腰三角形,且$\angle BDC = 120^{\circ}$。以点$D为顶点作一个60^{\circ}$角,使其两边分别交$AB于点M$,交$AC于点N$,连接$MN$,则$\triangle AMN$的周长为______6。

答案： 6