《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

5. (RJ 九上 P91 改编)【问题发现】
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁. 如图 1,点$A$,$B$表示灯塔,暗礁分布在经过$A$,$B$两点的一个圆形区域内,优弧$AB上任一点C$都是有触礁危险的临界点,$\angle ACB$就是“危险角”,当船$P$位于安全区域时,它与两个灯塔的夹角$\angle \alpha$与“危险角”$\angle ACB$有怎样的大小关系？
【解决问题】
(1)数学小组用已学知识判断$\angle \alpha$与“危险角”$\angle ACB$的大小关系,步骤如下：
如图 2,$AP与\odot O相交于点D$,连接$BD$,由同弧或等弧所对的圆周角相等,可知$\angle ACB = \angle ADB$,因为$\angle ADB是\triangle BDP$的外角,所以$\angle APB$______$\angle ADB$. 所以$\angle \alpha$______$\angle ACB$. (填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)
【问题探究】
(2)如图 3,已知线段$AB与直线l$,在直线$l上取一点P$,过$A$,$B$两点,作$\odot O使其与直线l$相切,切点为$P$,不妨在直线上另外任取一点$Q$,连接$AQ$,$BQ$,请你判断$\angle APB与\angle AQB$的大小关系,并说明理由.
【问题拓展】
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球,如图 4,他在点$P$处接到球后,沿$PQ$方向带球跑动,球门$AB = 8\mathrm{m}$,$DP = 8\mathrm{m}$,$BD = 16\mathrm{m}$,$\angle ADC = 90^{\circ}$,$\angle QPC = 45^{\circ}$. 该球员在射门角度($\angle AMB$)最大时射门,球员在$PQ$上的何处射门？(求出此时$PM$的长度)

答案：
解:
(1)$＜$$＜$
(2)$\angle APB＞\angle AQB$.理由如下:
如图3,设$AQ$与$\odot O$相交于点G,连接$BG$,

$\because \overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{AB}$,
$\therefore \angle APB=\angle AGB$.
$\because \angle AGB$是$\triangle BGQ$的外角,
$\therefore \angle AGB＞\angle AQB$.
$\therefore \angle APB＞\angle AQB$.
(3)如图4,由
(2),可得当经过点A,B的$\odot O$与$PQ$相切时,M为切点,此时$\angle AMB$最大,过点O作$OH\perp AB$交AB于点H,延长HO交PQ于点E,过点E作$EF\perp DC$交DC于点F,连接$BO,OM$,

$\therefore BH=\frac {1}{2}AB=4(m)$.
$\therefore DH=BH+BD=20(m)$.
$\because OH\perp AB,EF\perp DF$,
$AD\perp DF$,
∴四边形HDFE是矩形.
$\therefore EF=DH=20m$.
$\because \angle QPC=45^{\circ }$,
$\therefore \angle EPF=45^{\circ }$,
$PF=EF=20m$.
$\therefore HE=DF=DP+FP=28(m)$.
$\because HE// DF$,
$\therefore \angle HEP=\angle EPF=45^{\circ }$.
$\because OM\perp PQ$,
$\therefore \triangle OME$是等腰直角三角形.
$\therefore$设$\odot O$的半径$OB=OM=xm$
$\therefore OE=\sqrt {2}xm$.
$\therefore OH=HE-OE$
$=(28-\sqrt {2}x)(m)$.
在$Rt\triangle OHB$中,
$OH^{2}+HB^{2}=OB^{2}$,
$\therefore (28-\sqrt {2}x)^{2}+4^{2}=x^{2}$,
解得$x=28\sqrt {2}-16\sqrt {3}$或$28\sqrt {2}+16\sqrt {3}$(舍去).
$\therefore EM=OM=(28\sqrt {2}-16\sqrt {3})m$
$\therefore PM=PE-EM$
$=(16\sqrt {3}-8\sqrt {2})(m)$.
答:$PM$的长度为$(16\sqrt {3}-8\sqrt {2})m$.