《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

2. (2024·拱墅区校级期中)在实验课上,小明做了一个实验,如图$1$,在仪器左边托盘$A$(固定)中放置一个物体,在右边托盘$B$(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为$5g$,在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡,改变托盘$B与点C的距离x(cm)(0 ＜ x \leq 60)$,记录容器中加入水的质量,得到表格:



把上表中的$x与y_{1}$各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图$2所示的y_{1}关于x$的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出$y_{2}关于x$的函数图象;
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测$y_{1}与x$之间的函数关系,并求$y_{1}关于x$的函数表达式;
②求$y_{2}关于x$的函数表达式.
(3)如图$1$,若在容器中加入的水的质量$y_{2}(g)满足19 \leq y_{2} \leq 45$,求托盘$B与点C的距离x(cm)$的取值范围.

答案：
解：
(1)$y_2$关于$x$的函数图象如图2所示。

(2)①根据函数图象和表格中的数据可知，$y_1$是$x$的反比例函数。
设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1 = \frac{k}{x}(k \neq 0)$。
把坐标$(30,10)$代入$y_1 = \frac{k}{x}$，
得$\frac{k}{30} = 10$，解得$k = 300$，
$\therefore y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1 = \frac{300}{x}(0 ＜ x \leq 60)$。
②由表格中的数据可知，
$y_2 = y_1 - 5 = \frac{300}{x} - 5$，
$\therefore y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2 = \frac{300}{x} - 5(0 ＜ x \leq 60)$。
(3)$\because 19 \leq y_2 \leq 45$，$y_2 = \frac{300}{x} - 5$，
$\therefore 19 \leq \frac{300}{x} - 5 \leq 45$，
解得$6 \leq x \leq 12.5$。
$\therefore$托盘$B$与点$C$的距离$x(cm)$的取值范围为$6 \leq x \leq 12.5$。