《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 对于切线的性质：
已知圆O，AB是圆O的切线，A为切点，OA是半径。
根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，因为AB是⊙O的切线，OA是半径，A是切点，所以OA⊥AB。
2. 对于切线的判定1：
已知OA是⊙O的半径，OA⊥AB，A在AB上（经过半径的外端）。
根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，因为OA是⊙O的半径，OA⊥AB，A在AB上，所以AB是⊙O的切线。
3. 对于切线的判定2：
设圆心O到直线AB的距离为d，圆O半径为r。
根据“若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线”，因为d=r（d是圆心O到直线AB的距离，r是⊙O半径），所以AB是⊙O的切线。

答案： 1. 对于切线的性质：
已知圆$O$，$AB$是圆$O$的切线，$A$为切点，$OA$是半径。
根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，因为$AB$是$\odot O$的切线，$OA$是半径，$A$是切点，所以$OA\perp AB$。
2. 对于切线的判定$1$：
已知$OA$是$\odot O$的半径，$OA\perp AB$，$A$在$AB$上（经过半径的外端）。
根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，因为$OA$是$\odot O$的半径，$OA\perp AB$，$A$在$AB$上，所以$AB$是$\odot O$的切线。
3. 对于切线的判定$2$：
设圆心$O$到直线$AB$的距离为$d$，圆$O$半径为$r$。
根据“若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线”，因为$d = r$（$d$是圆心$O$到直线$AB$的距离，$r$是$\odot O$半径），所以$AB$是$\odot O$的切线。
故答案依次为：$AB$是$\odot O$的切线；$OA$是半径；$A$是切点；$OA\perp AB$；$OA$是$\odot O$的半径；$OA\perp AB$；$A$在$AB$上；$AB$是$\odot O$的切线；$d = r$（$d$是圆心$O$到直线$AB$的距离，$r$是$\odot O$半径）；$AB$是$\odot O$的切线。

1.(RJ九上P98)如图,AB为$\odot O$的直径,$AB= BC,∠A= 45^{\circ }$.求证:BC为$\odot O$的切线.
证明：∵AB=BC，∠A=45°，
∴∠ABC=90°。
又∵AB为⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线。

答案： 证明：
∵AB=BC，∠A=45°，
∴∠ABC=90°。
又
∵AB为⊙O的直径，
∴BC为⊙O的切线。

2.【原创题】(结合勾股定理的逆定理证切线)如图,OA为$\odot O$的半径,$OA= 1,OB= 2,$$AB= \sqrt {3}$.求证:AB为$\odot O$的切线.
证明：∵OA²+AB²=1²+(√3)²=4，OB²=2²=4，
∴OA²+AB²=OB²。
∴∠A=90°。
又∵OA为⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线。

答案： 证明：
∵OA²+AB²=1²+(√3)²=4，OB²=2²=4，
∴OA²+AB²=OB²。
∴∠A=90°。
又
∵OA为⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线。

3.(作辅助线证切线)如图,在$△ABC$中,$∠A= ∠C= 30^{\circ }$,AB是$\odot O$的弦,AC过圆心O.求

证:BC是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接BO，

∵∠A=∠C=30°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C
=120°。
又
∵AO=BO，
∴∠ABO=∠A=30°。
∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=90°，即OB⊥BC。
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线。

4.如图,直线AB过$\odot O$上的点C,$OA= OB,CA= CB$.求证:AB是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB。
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。

5.(2024·天河区期中)如图,O为$∠BAC$的平分线上一点,$OD⊥AB$于点D,以点O为圆心,OD为半径作$\odot O$.求证:$\odot O$与AC相切.

答案：
证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E，

∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE=OD。
∴OE是⊙O的半径。
∴⊙O与AC相切。

6.(RJ九上P98改编)如图,等腰$△ABC$的腰AC与$\odot O$相切于点D,$AB= AC$,圆心O是BC的中点.求证:AB是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，过点O作OE⊥AB，交AB于点E，连接OA，OD，

∵AB=AC，O为BC的中点，
∴AO平分∠BAC；
∵AC与⊙O相切，
∴OD⊥AC。
∴OE=OD，
∴AB是⊙O的切线。