《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 完全平方公式：$a^{2}\pm 2ab + b^{2} = (a\pm$b$)^{2}$.

答案： b

2. 填空：
(1)$x^{2} + 6x +$9$ = (x +$3$)^{2}$；
(2)$x^{2} - 3x +$$\frac{9}{4}$$ = (x -$$\frac{3}{2}$$)^{2}$.

答案： 1. $9$；$3$ 2. $\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$

3. 例 用配方法将抛物线$y = x^{2} + 6x - 1$化成顶点式并写出开口方向和顶点坐标.

答案： 【解析】：本题可根据配方法的步骤将抛物线$y = x^{2} + 6x - 1$化成顶点式，再根据二次函数顶点式的性质确定开口方向和顶点坐标。
- **步骤一：利用配方法将抛物线化成顶点式**
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
对于二次函数$y = x^{2} + 6x - 1$，在式子中加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，以构成完全平方式，即：
$\begin{aligned}y&=x^{2} + 6x - 1\\&=x^{2} + 6x + 9 - 9 - 1\\&=(x^{2} + 6x + 9) - 10\\&=(x + 3)^{2} - 10\end{aligned}$
所以，抛物线$y = x^{2} + 6x - 1$化成顶点式为$y=(x + 3)^{2} - 10$。
- **步骤二：根据顶点式确定开口方向和顶点坐标**
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$，$a$、$h$、$k$为常数），当$a\gt0$时，抛物线开口向上；当$a\lt0$时，抛物线开口向下，其顶点坐标为$(h,k)$。
在抛物线$y=(x + 3)^{2} - 10$中，$a = 1\gt0$，所以抛物线开口向上；$h = -3$，$k = -10$，所以顶点坐标为$(-3,-10)$。
【答案】：顶点式为$y=(x + 3)^{2} - 10$，开口方向向上，顶点坐标为$(-3,-10)$

4. 用配方法将抛物线$y = x^{2} - 8x + 1$化成$y = a(x - h)^{2} + k$的形式为$y=(x - 4)^{2} - 15$，顶点坐标为$(4,-15)$，对称轴为直线$x = 4$.

答案： 【解析】：本题可根据配方法的步骤将抛物线$y = x^{2} - 8x + 1$化成顶点式$y = a(x - h)^{2} + k$的形式，再根据顶点式的性质得出顶点坐标和对称轴。
- **步骤一：配方**
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。
对于二次函数$y = x^{2} - 8x + 1$，可在式子中加上并减去一次项系数一半的平方，即$(\frac{-8}{2})^2 = 16$，可得：
$y = x^{2} - 8x + 16 - 16 + 1$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可将上式中前三项变形为$(x - 4)^{2}$，则有：
$y = (x - 4)^{2} - 16 + 1=(x - 4)^{2} - 15$
- **步骤二：求顶点坐标和对称轴**
对于抛物线的顶点式$y = a(x - h)^{2} + k$（$a\neq0$，$a$、$h$、$k$为常数），其顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x = h$。
在$y = (x - 4)^{2} - 15$中，$h = 4$，$k = -15$，所以顶点坐标为$(4,-15)$，对称轴为直线$x = 4$。
【答案】：$y=(x - 4)^{2} - 15$，顶点坐标为$(4,-15)$，对称轴为直线$x = 4$

5. 例 求抛物线$y = x^{2} + x + 1$的顶点坐标.

答案： 【解析】：本题可将抛物线的一般式转化为顶点式来求顶点坐标。对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$，顶点坐标为$(h,k)$。
对于抛物线$y = x^{2}+x + 1$，利用配方法将其转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^{2}+x + 1\\&=x^{2}+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\\&=(x + \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\end{aligned}$
所以该抛物线的顶点式为$y=(x + \frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$，根据顶点式可知其顶点坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$。
【答案】：$(-\frac{1}{2},\frac{3}{4})$

6. 求抛物线$y = x^{2} - 3x + 2$的顶点坐标.

答案： 【解析】：本题可通过配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，进而得到顶点坐标。
对于抛物线$y = x^{2}-3x + 2$，利用配方法进行变形：
$\begin{aligned}y&=x^{2}-3x + 2\\&=x^{2}-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2\\&=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}+2\\&=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}\end{aligned}$
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），在$y=(x - \frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4}$中，$h = \frac{3}{2}$，$k = -\frac{1}{4}$，所以顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$。
【答案】：$(\frac{3}{2},-\frac{1}{4})$

7. 例 (2024·金湾区期中)已知二次函数$y = 2x^{2} - 4x + 3$.
(1)求该二次函数的顶点坐标；(1,1)
(2)当$x$$\lt1$时,$y随x$的增大而减小.

答案： 【解析】：1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，在二次函数$y = 2x^{2}-4x + 3$中，$a = 2$，$b=-4$，$c = 3$。
先求横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1$。
再求纵坐标$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4\times2\times3-(-4)^{2}}{4\times2}=\frac{24 - 16}{8}=\frac{8}{8}=1$，所以该二次函数的顶点坐标为$(1,1)$。
2. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，当$a\gt0$时，抛物线开口向上，对称轴为$x =-\frac{b}{2a}$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
由前面计算可知该函数对称轴为$x = 1$，$a = 2\gt0$，所以当$x\lt1$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：1. $(1,1)$ 2. $\lt1$

8. (2024·海珠区校级期中)已知二次函数$y = -x^{2} + 6x - 12$.
(1)求开口方向、对称轴及顶点坐标；
开口方向向下，对称轴为直线$x = 3$，顶点坐标为$(3,-3)$
(2)当$x$$\gt3$时,$y随x$的增大而减小.

答案： 【解析】：1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其开口方向由$a$的正负决定，当$a\gt0$时，开口向上；当$a\lt0$时，开口向下。在二次函数$y=-x^{2}+6x - 12$中，$a=-1\lt0$，所以抛物线开口向下。
对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$，将$a=-1$，$b = 6$代入可得：$x=-\frac{6}{2\times(-1)} = 3$。
求顶点坐标，可把$x = 3$代入函数$y=-x^{2}+6x - 12$中，$y=-3^{2}+6\times3 - 12=-9 + 18-12=-3$，所以顶点坐标为$(3,-3)$。
2. 因为抛物线开口向下，对称轴为$x = 3$，所以在对称轴右侧，即$x\gt3$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】：1. 开口方向向下，对称轴为直线$x = 3$，顶点坐标为$(3,-3)$ 2. $x\gt3$