《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (RJ 九上 P47 改编)画出函数$y= x^{2}-2x-3$的图象,利用图象回答:
(1)方程$x^{2}-2x-3= 0$的解是什么?
(2)求顶点坐标和对称轴.
(3)x 取什么值时,函数值小于 0?

答案：
解：函数图象如图：
　　　　
(1) 由图象知，方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的解为 $ x_{1} = -1 $，$ x_{2} = 3 $。
(2) 由图象知，顶点坐标为 $ (1, -4) $，对称轴为直线 $ x = 1 $。
(3) 由图象知，当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时，函数值小于 0。

2. (RJ 九上 P41 改编)如图,四边形 ABCD 为矩形,$AB= 6cm,AD= 4cm$.若点 Q 从点 A 出发沿 AD 以 1 cm/s 的速度向点 D 运动,点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm/s 的速度向点 B 运动. 点 P,Q 分别同时出发,当一个点到达终点时,另一点也同时停止.设运动的时间为$t(s).$
(1)当 t 为何值时,$△PDQ的面积为3cm^{2}$?
答：当 t 的值为1 或 3时，$△PDQ$的面积为$3cm^{2}$。
(2)当 t 为何值时,$△PDQ$的面积最大?
答：当 t = 2时，$△PDQ$的面积最大。

答案： 解：
(1)
∵ 点 $ Q $ 从点 $ A $ 出发沿 $ AD $ 以 $ 1 \mathrm{cm/s} $ 的速度向点 $ D $ 运动，
∴ $ AQ = t \mathrm{cm} $。
∵ 点 $ P $ 从点 $ A $ 出发沿 $ AB $ 以 $ 2 \mathrm{cm/s} $ 的速度向点 $ B $ 运动，
∴ $ AP = 2t \mathrm{cm} $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 为矩形，$ AB = 6 \mathrm{cm} $，$ AD = 4 \mathrm{cm} $，
∴ $ DQ = (4 - t) \mathrm{cm} $，$ \angle A = 90^{\circ} $，且 $ 0 \leq t \leq 3 $。
∵ $ S_{\triangle PDQ} = 3 \mathrm{cm}^{2} $，
∴ $ \frac{1}{2}(4 - t) \cdot 2t = 3 $，
解得 $ t = 1 $ 或 $ t = 3 $。
∴ 当 $ t $ 的值为 1 或 3 时，$ \triangle PDQ $ 的面积为 $ 3 \mathrm{cm}^{2} $。
(2) 依题意，得
$ S = \frac{1}{2}(4 - t) \cdot 2t = -(t - 2)^{2} + 4 $，
∵ $ -1 ＜ 0 $，
∴ 当 $ t = 2 $ 时，$ S $ 有最大值。
即当 $ t = 2 $ 时，$ \triangle PDQ $ 的面积最大。

3. (RJ 九上 P51)某种商品每件的进价为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出$(100-x)$件,应如何定价才能使利润最大?

答案： 解：设利润为 $ y $。依题意，得
$ y = (x - 30)(100 - x) = -x^{2} + 130x - 3000 = -(x - 65)^{2} + 1225 $，
∴ 当 $ x = 65 $ 时，函数有最大值 1225。
答：当定价为 65 元/件时，利润最大。

4. (SK 九下 P36)如图,利用$135^{\circ }$的墙角修建一个梯形储料场 ABCD,并使$∠C= 90^{\circ }$.如果新建墙 BCD 总长 15 m,旧墙长度不限,那么怎样修建才能使储料场的面积最大?

答案：
解：如图，过点 $ A $ 作 $ AE \perp BC $ 于点 $ E $，则四边形 $ ADCE $ 为矩形，
　　　
∴ $ \angle DAE = \angle AEB = 90^{\circ} $。
∴ $ \angle BAE = \angle BAD - \angle DAE = 45^{\circ} $。
设 $ DC = AE = x \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt} \triangle AEB $ 中，$ \angle AEB = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle B = 45^{\circ} $。
∴ $ AE = BE = x \mathrm{m} $。
∴ $ AD = CE = (15 - 2x) \mathrm{m} $。
∴ $ S_{\text{梯形}ABCD} $
$ = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CD $
$ = \frac{1}{2}(15 - 2x + 15 - x) \cdot x $
$ = -\frac{3}{2}x^{2} + 15x $
$ = -\frac{3}{2}(x - 5)^{2} + \frac{75}{2} $。
当 $ x = 5 $ 时，$ S_{\text{最大}} = \frac{75}{2} $。
∴ $ CD $ 长为 $ 5 \mathrm{m} $ 时，储料场的面积最大。