《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

2. (RJ 九上 P63 改编)(2024·连云港四模)课本再现
【阅读与理解】
图 1 是边长分别为 a 和$b(a＞b)$的两个等边三角形纸片 ABC 和$C'DE$叠放在一起(点 C 与点$C'$重合)的图形.
【操作与证明】
(1)如图 2,固定$△ABC$,将$△C'DE$绕点 C 按顺时针方向旋转$30^{\circ }$,连接 AD,BE. 在图 2 中,线段 BE 与 AD 之间具有怎样的大小关系? 证明你的结论.
(2)如图 3,若将图 1 中的$△C'DE$绕点 C 按顺时针方向任意旋转一个角度$α(0^{\circ }≤α≤360^{\circ })$,连接 AD,BE. 在图 3 中,线段 BE 与 AD 之间具有怎样的大小关系? 证明你的结论.
【猜想与发现】
(3)根据上面的操作过程,请你猜想当 α 为多少度时,线段 AD 的长度最大,最大值是多少?当 α 为多少度时,线段 AD 的长度最小,最小值是多少?
解:(1)BE=AD.证明如下:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD.
由旋转知∠BCE=∠ACD=30°,
在△BCE和△ACD中,
$\begin{cases}BC = AC\\∠BCE = ∠ACD\\CE = CD\end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴BE=AD.
(2)BE=AD.证明如下:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD.
由旋转知∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中,
$\begin{cases}BC = AC\\∠BCE = ∠ACD\\CE = CD\end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴BE=AD.
(3)∵AC + CD ≥ AD,
AC - CD ≤ AD,
∴当点 D 在 AC 的延长线上时,AD 最大,最大值为 AC + CD = a + b,
即当α为180°时,线段 AD 的长度最大,最大值为a + b;
当点 D 在线段 AC 上时,AD 最小,最小值为 AC - CD = a - b,
即当α为0°或 360°时,线段 AD 的长度最小,最小值为a - b.

答案： 解:
(1)BE=AD.证明如下:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD.
由旋转知∠BCE=∠ACD=30°,
在△BCE和△ACD中,
$\begin{cases}BC = AC\\∠BCE = ∠ACD\\CE = CD\end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴BE=AD.
(2)BE=AD.证明如下:
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CE=CD.
由旋转知∠BCE=∠ACD,
在△BCE和△ACD中,
$\begin{cases}BC = AC\\∠BCE = ∠ACD\\CE = CD\end{cases}$
∴△BCE≌△ACD(SAS).
∴BE=AD.
(3)
∵AC + CD ≥ AD,
AC - CD ≤ AD,
∴当点 D 在 AC 的延长线上时,AD 最大,最大值为 AC + CD = a + b,
即当α为 180°时,线段 AD 的长度最大,最大值为 a + b;
当点 D 在线段 AC 上时,AD 最小,最小值为 AC - CD = a - b,
即当α为 0°或 360°时,线段 AD 的长度最小,最小值为 a - b.