《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

8. (2024·东莞期中)解方程: $ x^{2}+1 = 3x $.

答案： 解：方程化为 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $。
$ a = 1 $，$ b = -3 $，$ c = 1 $。
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-3)^{2}-4\times1\times1 $
$ = 5＞0 $。
∴方程有两个不相等的实数根
$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ =\frac{-(-3)\pm\sqrt{5}}{2\times1}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} $，
即 $ x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} $，$ x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} $。

9. (2024·东莞校级月考)用公式法解方程: $ -2x^{2}+2x+1 = 0 $.

答案： 解：方程化为 $ 2x^{2}-2x - 1 = 0 $。
$ a = 2 $，$ b = -2 $，$ c = -1 $。
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-2)^{2}-4\times2\times(-1) $
$ = 12＞0 $。
∴方程有两个不相等的实数根
$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ =\frac{-(-2)\pm\sqrt{12}}{2\times2}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2} $，
即 $ x_{1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} $，$ x_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2} $。

10. (2024·珠海期中)解方程: $ x^{2}-\sqrt{3}x-\frac{1}{4}= 0 $.

答案： 解：$ a = 1 $，$ b = -\sqrt{3} $，$ c = -\frac{1}{4} $。
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-\sqrt{3})^{2}-4\times1\times(-\frac{1}{4}) $
$ = 4＞0 $。
∴方程有两个不相等的实数根
$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ =\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2\times1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2} $，
即 $ x_{1}=\frac{\sqrt{3}+2}{2} $，$ x_{2}=\frac{\sqrt{3}-2}{2} $。

11. (1) $ x= \frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4×2×1}}{2×2} $ 是下列哪个一元二次方程的根 (A)
A. $ 2x^{2}+3x+1 = 0 $ B. $ 2x^{2}-3x+1 = 0 $
C. $ 2x^{2}+3x - 1 = 0 $ D. $ 2x^{2}-3x - 1 = 0 $
(2)(2024·中山期末)对于实数 $ a,b $,定义运算“※”: $ a※b = a^{2}-2b $,例如: $ 5※1 = 5^{2}-2×1 = 23 $.如果 $ x※x = 0 $,那么 $ x $ 的值为0 或 2.

答案：
(1) A
(2) 0 或 2

12. 先阅读,再解题.
解方程 $ (x - 1)^{2}-5(x - 1)+4 = 0 $ 时,可以将 $ (x - 1) $ 看成一个整体,设 $ x - 1 = y $,则原方程可化为 $ y^{2}-5y+4 = 0 $,解得 $ y_{1}= 1,y_{2}= 4 $.当 $ y = 1 $ 时,即 $ x - 1 = 1 $,解得 $ x = 2 $;当 $ y = 4 $ 时,即 $ x - 1 = 4 $,解得 $ x = 5 $,所以原方程的解为 $ x_{1}= 2,x_{2}= 5 $.
请利用上述方法解方程: $ (3x - 5)^{2}-4(5 - 3x)+3 = 0 $.
解：设 $ 3x - 5 = y $，则原方程化为
$ y^{2}+4y + 3 = 0 $，
解得 $ y_{1}=$-1，$ y_{2}=$-3。
当 $ y = -1 $ 时，$ 3x - 5 = -1 $，
解得 $ x=$$\frac{4}{3}$；
当 $ y = -3 $ 时，$ 3x - 5 = -3 $，
解得 $ x=$$\frac{2}{3}$。
∴原方程的解为
$ x_{1}=$$\frac{4}{3}$，$ x_{2}=$$\frac{2}{3}$。

答案： 解：设 $ 3x - 5 = y $，则原方程化为
$ y^{2}+4y + 3 = 0 $，
解得 $ y_{1}=-1 $，$ y_{2}=-3 $。
当 $ y = -1 $ 时，$ 3x - 5 = -1 $，
解得 $ x=\frac{4}{3} $；
当 $ y = -3 $ 时，$ 3x - 5 = -3 $，
解得 $ x=\frac{2}{3} $。
∴原方程的解为
$ x_{1}=\frac{4}{3} $，$ x_{2}=\frac{2}{3} $。