《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

4. 若抛物线$y = x^{2}+2x + m - 1$与x轴有2个交点,求m的取值范围．

答案： 解: $\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \times 1 \times (m - 1) = 8 - 4m$.
依题意, 得$8 - 4m ＞ 0$,
解得$m ＜ 2$.

5. 若抛物线$y = x^{2}+2x + m$与x轴有交点,求m的取值范围．

答案： 解: $\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4 \times 1 \times m = 4 - 4m$.
依题意, 得$4 - 4m \geq 0$,
解得$m \leq 1$.

6. (2024·中山期中)已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与x轴相交于点$(-2,0)和(4,0)$,则方程$ax^{2}+bx + c = 0$的解为$x_{1} = -2$, $x_{2} = 4$．

答案： $x_{1} = -2$, $x_{2} = 4$

7. 若方程$ax^{2}+bx = 0$的根为$x_{1}= 0$,$x_{2}= 1$,则抛物线$y = ax^{2}+bx$与x轴的交点为$(0,0)$, $(1,0)$．

答案： $(0,0)$, $(1,0)$

8. 抛物线$y = x^{2}-2x + 1$与x轴的交点坐标为$(1,0)$．

答案： $(1,0)$

9. (2024·白云区期中)抛物线$y = x^{2}-6x + c$与x轴只有一个交点,则$c=$9．

答案： 9

10. 二次函数$y = ax^{2}+bx + 9$的图象与x轴交于一个点$(-3,0)$,则方程$ax^{2}+bx = -9$的根为______$x_{1} = x_{2} = -3$．

答案： $x_{1} = x_{2} = -3$

11. (2024·荔湾区校级月考)若二次函数$y = kx^{2}-4x + 1$的图象与x轴有交点,则k的取值范围是$k \leq 4$且$k \neq 0$．

答案： $k \leq 4$且$k \neq 0$

12. 已知二次函数$y = x^{2}-(m + 2)x + 2m - 1$．
(1)求证：不论m取何值,该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数图象与y轴交于点$(0,3)$,求该函数的图象与x轴的交点坐标．

答案：
(1) 证明: 令$y = 0$,
则$x^{2} - (m + 2)x + 2m - 1 = 0$,
∴ $\Delta = [-(m + 2)]^{2} - 4(2m - 1) = (m - 2)^{2} + 4 \geq 4$.
∴ $\Delta ＞ 0$.
∴ 方程总有两个不相等的实数根.
∴ 不论m取何值, 该函数图象与x轴总有两个公共点.
(2) 解:
∵ 该函数的图象与y轴交于点$(0,3)$,
∴ $2m - 1 = 3$, 解得$m = 2$.
∴ 抛物线的解析式为$y = x^{2} - 4x + 3$.
∵ $y = x^{2} - 4x + 3 = (x - 2)^{2} - 1$,
当$y = 0$时, $(x - 2)^{2} - 1 = 0$,
∴ $x_{1} = 3$, $x_{2} = 1$.
∴ 该函数的图象与x轴的交点坐标为$(3,0)$或$(1,0)$.

13. 已知二次函数$y = x^{2}-2mx + m^{2}+3$(m是常数)．
(1)求证：不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点．
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数图象与x轴只有一个公共点？

答案：
(1) 证明:
∵ $\Delta = (-2m)^{2} - 4 \times 1 \times (m^{2} + 3) = 4m^{2} - 4m^{2} - 12 = -12 ＜ 0$,
∴ 方程$x^{2} - 2mx + m^{2} + 3 = 0$没有实数解.
∴ 不论m为何值, 该函数的图象与x轴没有公共点.
(2) 解: $y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 3 = (x - m)^{2} + 3$,
当该函数的顶点在x轴上时, 函数图象与x轴只有一个公共点,
∴ 把函数$y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 3$的图象沿y轴向下平移3个单位长度后, 得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.