《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

9. 选择适当的方法解方程：$1000(1+x)^{2}= 1440$。

答案： 解：整理，得$(1 + x)^2 = 1.44$。
$1 + x = \pm1.2$。
$x = -1 \pm1.2$。
$\therefore x_1 = 0.2$，$x_2 = -2.2$。

10. 【原创题】解方程：$48x-4x^{2}= 44$。

答案： 解：方程化为
$4x^2 - 48x + 44 = 0$。
$x^2 - 12x + 11 = 0$。
$(x - 1)(x - 11) = 0$。
$x - 1 = 0$，或$x - 11 = 0$，
$\therefore x_1 = 1$，$x_2 = 11$。

11. (2024·中山期中)将方程$x^{2}-2x= 2$配成$(x+a)^{2}= k$的形式,方程两边需加上(A)
A. 1
B. 2
C. 4
D. -1

答案： A

12. (2024·中山模拟)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程$x^{2}-9x+18= 0$的两个根,则该三角形的周长是 (B)
A. 9
B. 15
C. 12或15
D. 不能确定

答案： B

13. 解方程：$\frac {1}{2}x(x-1)= 15$。

答案： 解：$x(x - 1) = 30$。
$x^2 - x = 30$。
$x^2 - x - 30 = 0$。
$(x + 5)(x - 6) = 0$。
$x + 5 = 0$，或$x - 6 = 0$，
$\therefore x_1 = -5$，$x_2 = 6$。

14. 【易错题】解方程：$(8-2x)(6-2x)= 24$。

答案： 解：方程化为$x^2 - 7x + 6 = 0$。
因式分解，得
$(x - 1)(x - 6) = 0$。
于是得$x - 1 = 0$，或$x - 6 = 0$，
$x_1 = 1$，$x_2 = 6$。

15. 【换元法】(2024·新会区月考)阅读下列材料：
【提出问题】
解方程：$x^{4}-6x^{2}+5= 0$。这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是：
设$x^{2}= y$,那么$x^{4}= y^{2}$,于是原方程可变形为$y^{2}-6y+5= 0$,解得$y_{1}= 1$,$y_{2}= 5$。
当$y= 1$时,$x^{2}= 1$,故$x= \pm 1$；
当$y= 5$时,$x^{2}= 5$,故$x= \pm \sqrt {5}$。
所以原方程有四个根：$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$,$x_{3}= \sqrt {5}$,$x_{4}= -\sqrt {5}$。
在这个过程中,我们利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想。
【解决问题】
(1)解方程$(x^{2}-x)^{2}+4(x^{2}-x)-12= 0$时,若设$y= x^{2}-x$,则原方程可转化为______$y^2 + 4y - 12 = 0$,并求出$x$；
(2)利用换元法解方程：$\frac {x^{2}-1}{2x}-\frac {6x}{x^{2}-1}+2= 0$。
解：设$\frac{x^2 - 1}{2x} = y$，则$\frac{6x}{x^2 - 1} = \frac{3}{y}$。
$\therefore$原方程可变形为$y - \frac{3}{y} + 2 = 0$，
解得$y_1 = 1$，$y_2 = -3$。
经检验，$y_1 = 1$和$y_2 = -3$都是原分式方程的根。
当$y = 1$时，$\frac{x^2 - 1}{2x} = 1$，
解得$x_1 = 1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$；
当$y = -3$时，$\frac{x^2 - 1}{2x} = -3$，
解得$x_3 = -3 + \sqrt{10}$，
$x_4 = -3 - \sqrt{10}$。
经检验，$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$均是方程的根，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$，
$x_3 = -3 + \sqrt{10}$，$x_4 = -3 - \sqrt{10}$。

答案： 解：
(1) 原方程可变形为
$y^2 + 4y - 12 = 0$，
解得$y_1 = 2$，$y_2 = -6$。
当$y = 2$时，$x^2 - x = 2$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 2$；
当$y = -6$时，$x^2 - x = -6$，
即$x^2 - x + 6 = 0$，
$\Delta = b^2 - 4ac = 1 - 4\times1\times6$
$= -23 ＜ 0$，
方程无实数根。
$\therefore$原方程有两个根：
$x_1 = -1$，$x_2 = 2$。
故答案为$y^2 + 4y - 12 = 0$。
(2) 设$\frac{x^2 - 1}{2x} = y$，则$\frac{6x}{x^2 - 1} = \frac{3}{y}$。
$\therefore$原方程可变形为$y - \frac{3}{y} + 2 = 0$，
解得$y_1 = 1$，$y_2 = -3$。
经检验，$y_1 = 1$和$y_2 = -3$都是原分式方程的根。
当$y = 1$时，$\frac{x^2 - 1}{2x} = 1$，
解得$x_1 = 1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$；
当$y = -3$时，$\frac{x^2 - 1}{2x} = -3$，
解得$x_3 = -3 + \sqrt{10}$，
$x_4 = -3 - \sqrt{10}$。
经检验，$x_1$，$x_2$，$x_3$，$x_4$均是方程的根，
$\therefore x_1 = 1 + \sqrt{2}$，$x_2 = 1 - \sqrt{2}$，
$x_3 = -3 + \sqrt{10}$，$x_4 = -3 - \sqrt{10}$。