《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

2. (RJ 九上 P149 改编)实验与探究
π 的估计
图 1 是一个七等分圆盘,随意向其投掷一枚飞镖,则镖落在圆盘中任何一个点上的机会都相等.由于各个小扇形大小一样,因此飞镖落在红、黄、绿区域上的概率分别为 $ \frac{3}{7}, \frac{2}{7}, \frac{2}{7} $. 这里概率的大小是各颜色区域的面积在整个区域的面积中所占的比.

一般地,如果在一次试验中,结果落在区域 $ D $ 中每一点都是等可能的,用 $ A $ 表示“试验结果落在区域 $ D $ 中一个小区域 $ M $ 中”这个事件,那么事件 $ A $ 发生的概率为 $ P(A) = \frac{M \text{ 的面积}}{D \text{ 的面积}} $.
图 2 是一个正方形及其内切圆,随机地往正方形内投一粒米,落在圆内的概率为 $ P(A) = \frac{\text{圆的面积}}{\text{正方形的面积}} = \frac{\pi}{4} $.
由此解答下列问题:
(1)随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上,统计并计算落在圆内的米粒数 $ m $ 与正方形内的米粒数 $ n $ 的比 $ \frac{m}{n} $.
(2) $ \frac{m}{n} $ 和 $ \frac{\pi}{4} $ 之间有什么关系?某次试验的数据如表所示.你能用它们之间的关系估计出 $ \pi $ 的值吗?

$\frac{m}{n}=$0.8，$\pi \approx$3.2
(3)为了提高 $ \pi $ 的估计精度,你认为还可以怎么做?
增加米的数量(答案不唯一)

答案： 解：
(2) $\frac{m}{n} \approx \frac{\pi}{4}$。理由如下：
$\frac{m}{n}$ 是撒一把米，落在圆内的频率；
$\frac{\pi}{4}$ 是撒一把米，落在圆内的概率。频率在一定程度上反映了事件发生的可能性的大小，尽管进行一连串试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 $n$ 相当大，频率与概率是会非常靠近。
依题意，得 $\frac{m}{n} = \frac{800}{1000} = 0.8$，
又 $\because \frac{m}{n} \approx \frac{\pi}{4}$，
$\therefore \pi \approx \frac{4m}{n} = \frac{4 × 800}{1000} = 3.2$。
故答案分别为 $0.8$，$3.2$。
(3) 为了提高 $\pi$ 的估计精度，可以增加米的数量。(答案不唯一)