《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (RJ 九上 P89)[方程思想]如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分,如果 M 是$\odot O$中弦 CD 的中点,EM 经过圆心 O 交$\odot O$于点 E,并且$CD= 4m$,$EM= 6m$.求$\odot O$的半径.

解：设$\odot O$的半径为$r$。
$\because M$是弦$CD$的中点，
$\therefore OM\perp CD$。
$\because CD = 4\mathrm{cm}$，
$\therefore CM = DM = $$2\mathrm{cm}$。
$\because EM = 6\mathrm{cm}$，
$\therefore OM = $$(6 - r)\mathrm{cm}$。
$\therefore $$r^{2}-(6 - r)^{2}=2^{2}$。
解得$r=\frac{10}{3}$。
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{10}{3}\mathrm{cm}$。

答案： 解：设$\odot O$的半径为$r$。
$\because M$是弦$CD$的中点，
$\therefore OM\perp CD$。
$\because CD = 4\mathrm{cm}$，
$\therefore CM = DM = 2\mathrm{cm}$。
$\because EM = 6\mathrm{cm}$，
$\therefore OM = (6 - r)\mathrm{cm}$。
$\therefore r^{2}-(6 - r)^{2}=2^{2}$。
解得$r=\frac{10}{3}$。
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{10}{3}\mathrm{cm}$。

2. (RJ 九上 P102)[整体思想]如图,AB,BC,CD 分别与$\odot O$相切于 E,F,G 三点,且$AB// CD$,$BO= 6cm$,$CO= 8cm$.则 BC 的长为____10cm.

答案： $10\mathrm{cm}$

3. (RJ 九上 P123)[整体思想]如图,大半圆中有 n 个小半圆,大半圆的弧长为$L_{1}$,n 个小半圆的弧长和为$L_{2}$,探索$L_{1}和L_{2}$的关系并证明你的结论.

解：$L_{1}=L_{2}$。证明如下：
设$n$个小半圆的半径依次为$r_{1}$，$r_{2}$，$\cdots$，$r_{n}$。
则大圆半径为$(r_{1}+r_{2}+\cdots + r_{n})$。
$\therefore L_{1}=$$\pi(r_{1}+r_{2}+\cdots + r_{n})$，
$L_{2}=$$\pi r_{1}+\pi r_{2}+\cdots +\pi r_{n}$=$\pi(r_{1}+r_{2}+\cdots + r_{n})$，
$\therefore L_{1}=L_{2}$。

答案： 解：$L_{1}=L_{2}$。证明如下：
设$n$个小半圆的半径依次为$r_{1}$，$r_{2}$，$\cdots$，$r_{n}$。
则大圆半径为$(r_{1}+r_{2}+\cdots + r_{n})$。
$\therefore L_{1}=\pi(r_{1}+r_{2}+\cdots + r_{n})$，
$L_{2}=\pi r_{1}+\pi r_{2}+\cdots +\pi r_{n}=\pi(r_{1}+r_{2}+\cdots + r_{n})$，
$\therefore L_{1}=L_{2}$。

4. (RJ 九上 P123)[集零为整]如图,$\odot A$,$\odot B$,$\odot C$两两不相交,且半径都是 0.5 cm.则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为$\frac{\pi}{8}\mathrm{cm}^{2}$.

答案： $\frac{\pi}{8}\mathrm{cm}^{2}$

5. (RJ 九上 P103 改编)[一题多解]如图,$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AB$,$BC$,$CA$的长分别为 c,a,b. 求证:$△ABC的内切圆半径r= \frac {a+b-c}{2}= \frac {ab}{a+b+c}$.

答案：
证明：如图，连接$OE$，$OF$，设$AB$与$\odot O$切点为$D$。

$\because D$，$E$，$F$分别为$\odot O$与$\mathrm{Rt}\triangle ABC$三边的切点，
$\therefore AD = AF$，$BD = BE$，$CE = CF$，$OF\perp AC$，$OE\perp BC$。
$\therefore \angle OFC=\angle OEC=\angle C = 90^{\circ}$。
$\therefore$ 四边形$OECF$是矩形。
又$\because OE = OF$，
$\therefore$ 四边形$OECF$是正方形。
$\therefore CE = OF$，$OE = CF$。
设$AD = AF = x$，$BD = BE = y$，$CE = CF = z$，
$\because AB = c$，$BC = a$，$AC = b$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}x + y = c\\ y + z = a\\ x + z = b\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{b + c - a}{2}\\ y=\frac{a + c - b}{2}\\ z=\frac{a + b - c}{2}\end{array}\right.$
$\therefore CE = z=\frac{a + b - c}{2}$。
$\therefore OF = CE=\frac{a + b - c}{2}$。
$\therefore \triangle ABC$的内切圆半径$r$为$\frac{a + b - c}{2}$。
$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab = 2ab$。
$\therefore (a + b + c)(a + b - c)=2ab$。
$\therefore \frac{a + b - c}{2}=\frac{ab}{a + b + c}$。
$\therefore \triangle ABC$的内切圆半径$r=\frac{a + b - c}{2}=\frac{ab}{a + b + c}$。