《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 已知$A(-1,0)$,$B(2,0)$,则$AB= $3.

答案： 3

2. 已知$A(0,4)$,$B(0,1)$,则$AB= $3.

答案： 3

3. 如图,抛物线$y= x^{2}-2x-3$与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,D是该抛物线的顶点.
(1)求点A,B,C,D的坐标；
(2)连接AC,CD,BD,求四边形ACDB的面积.

答案：
解:
(1) 令 $ y = 0 $，即 $ x ^ { 2 } - 2 x - 3 = 0 $，
$ \therefore x _ { 1 } = 3 $，$ x _ { 2 } = - 1 $。
$ \therefore A ( - 1, 0 ) $，$ B ( 3, 0 ) $。
$ \because $ 抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ C $，
$ \therefore C ( 0, - 3 ) $。
又 $ \because y = x ^ { 2 } - 2 x - 3 $
$ = ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 $，
$ \therefore D ( 1, - 4 ) $。
(2) 如图，连接 $ OD $，

$ \therefore S _ { \text { 四边形 } A C D B } $
$ = S _ { \triangle A O C } + S _ { \triangle O C D } + S _ { \triangle O D B } $
$ = \frac { 1 } { 2 } × 1 × 3 + \frac { 1 } { 2 } × 3 × 1 + \frac { 1 } { 2 } × 3 × 4 $
$ = 9 $。

4. 如图,抛物线顶点为$A(2,0)$,过点$C(3,1)$,与y轴相交于点B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B的坐标；
(3)求四边形OACB的面积.

答案：
解:
(1) 设抛物线的解析式为 $ y = a ( x - 2 ) ^ { 2 } $，
将点 $ C ( 3, 1 ) $ 代入，得
$ 1 = a ( 3 - 2 ) ^ { 2 } $，
$ \therefore a = 1 $，
$ \therefore y = ( x - 2 ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } - 4 x + 4 $。
(2) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 4 $，
$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ ( 0, 4 ) $。
(3) 如图，过点 $ C $ 作 $ C D \perp x $ 轴于点 $ D $。

$ \therefore S _ { \text { 四边形 } O A C B } = S _ { \text { 梯形 } O B C D } - S _ { \triangle A C D } $
$ = \frac { 1 } { 2 } × ( 1 + 4 ) × 3 - \frac { 1 } { 2 } × ( 3 - 2 ) × 1 = 7 $。

5. 如图,抛物线$y= -\frac{1}{2}x^{2}+2x+6$与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点D.
(1)求$\triangle ABD$的面积；24
(2)点P是抛物线上的一动点(不与点D重合),满足$S_{\triangle ABP}= S_{\triangle ABD}$,求点P的坐标.(4, 6)或(2+2√7, -6)或(2-2√7, -6)

答案： 解:
(1) 令 $ y = 0 $，
即 $ - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x + 6 = 0 $。
$ \therefore x _ { 1 } = - 2 $，$ x _ { 2 } = 6 $。
$ \therefore A ( - 2, 0 ) $，$ B ( 6, 0 ) $。
$ \because $ 该抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ D $，
$ \therefore D ( 0, 6 ) $。
$ \therefore S _ { \triangle A B D } = \frac { 1 } { 2 } A B \cdot O D $
$ = \frac { 1 } { 2 } × 8 × 6 $
$ = 24 $。
(2) 设 $ P \left( m, - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + 2 m + 6 \right) $，
$ \because S _ { \triangle A B P } = S _ { \triangle A B D } $，
$ \therefore \frac { 1 } { 2 } × 8 × \left| - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + 2 m + 6 \right| = 24 $。
$ \therefore \left| - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } + 2 m + 6 \right| = 6 $。
$ \therefore m ^ { 2 } - 4 m = 0 $ 或 $ m ^ { 2 } - 4 m - 24 = 0 $，
$ \therefore m = 0 $ (舍去) 或 $ m = 4 $ 或 $ m = 2 + 2 \sqrt { 7 } $ 或 $ m = 2 - 2 \sqrt { 7 } $。
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ ( 4, 6 ) $ 或 $ ( 2 + 2 \sqrt { 7 }, - 6 ) $ 或 $ ( 2 - 2 \sqrt { 7 }, - 6 ) $。

6. 如图,抛物线$y= \frac{1}{4}(x-2)^{2}-1$过原点,顶点B的坐标为$(2,-1)$,与x轴的另一交点为A.
(1)点A的坐标为______(4, 0)；
(2)若点C在抛物线上且$S_{\triangle OAC}= 2S_{\triangle OAB}$,求点C的坐标.(2 - 2√3, 2)或(2 + 2√3, 2)

答案： 解:
(1) 当 $ y = 0 $ 时，
$ \frac { 1 } { 4 } ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = 0 $，$ x _ { 2 } = 4 $，
$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ ( 4, 0 ) $。
故答案为 $ ( 4, 0 ) $。
(2) $ \because S _ { \triangle O A C } = 2 S _ { \triangle O A B } $，
$ \therefore $ 点 $ C $ 到 $ O A $ 的距离为 $ 2 $，
当 $ y = 2 $ 时，$ \frac { 1 } { 4 } ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 = 2 $，
解得 $ x _ { 1 } = 2 - 2 \sqrt { 3 } $，$ x _ { 2 } = 2 + 2 \sqrt { 3 } $，
$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ ( 2 - 2 \sqrt { 3 }, 2 ) $ 或 $ ( 2 + 2 \sqrt { 3 }, 2 ) $。