《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

6. (2024·南沙区校级月考)关于$x的一元二次方程x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1= 0有两个不相等的实数根x_{1},x_{2}$。
(1)求实数$k$的取值范围；
解: $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta = (2k + 1)^2 - 4 × 1 × (k^2 + 1) ＞ 0$, 解得 $k ＞$$\frac{3}{4}$. $\therefore k$ 的取值范围是 $k ＞$$\frac{3}{4}$.
(2)若方程的两个实数根$x_{1},x_{2}满足x_{1}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{2}= 0$,求$k$的值。
解: $\because$ 方程的两个实数根为 $x_1, x_2$, $\therefore x_1 + x_2 = -2k - 1$, $x_1x_2 = k^2 + 1$. 又 $\because x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 0$, $\therefore -2k - 1 + k^2 + 1 = 0$, 解得 $k = 0$ 或 $k =$2. $\because k ＞ \frac{3}{4}, \therefore k =$2.

答案： 解:
(1) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k + 1)x + k^2 + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta = (2k + 1)^2 - 4 \times 1 \times (k^2 + 1) ＞ 0$, 解得 $k ＞ \frac{3}{4}$. $\therefore k$ 的取值范围是 $k ＞ \frac{3}{4}$.
(2) $\because$ 方程的两个实数根为 $x_1, x_2$, $\therefore x_1 + x_2 = -2k - 1$, $x_1x_2 = k^2 + 1$. 又 $\because x_1 + x_2 + x_1 \cdot x_2 = 0$, $\therefore -2k - 1 + k^2 + 1 = 0$, 解得 $k = 0$ 或 $k = 2$. $\because k ＞ \frac{3}{4}, \therefore k = 2$.

7. (2024·遂宁)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m+2)x+m-1= 0$。
(1)求证：无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
证明: $a = 1$, $b = -(m + 2), c = m - 1$. $\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 2)]^2 - 4 × 1 × (m - 1) = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8$. $\because m^2 \geq 0, \therefore \Delta ＞ 0$. $\therefore$ 无论 $m$ 取何值, 方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求$m$的值。
解: $\because$ 方程 $x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_1, x_2$, $\therefore x_1 + x_2 = m + 2, x_1x_2 = m - 1$. $\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$, 即 $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 9$, $\therefore (m + 2)^2 - 3(m - 1) = 9$, 解得 $m_1 = -2, m_2 = 1$. $\therefore m$ 的值为$-2$或$1$.

答案：
(1) 证明: $a = 1$, $b = -(m + 2), c = m - 1$. $\Delta = b^2 - 4ac = [-(m + 2)]^2 - 4 \times 1 \times (m - 1) = m^2 + 4m + 4 - 4m + 4 = m^2 + 8$. $\because m^2 \geq 0, \therefore \Delta ＞ 0$. $\therefore$ 无论 $m$ 取何值, 方程都有两个不相等的实数根.
(2) 解: $\because$ 方程 $x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_1, x_2$, $\therefore x_1 + x_2 = m + 2, x_1x_2 = m - 1$. $\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$, 即 $(x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 9$, $\therefore (m + 2)^2 - 3(m - 1) = 9$, 解得 $m_1 = -2, m_2 = 1$. $\therefore m$ 的值为 $-2$ 或 $1$.

8. 【原创题】下列方程中,两个实数根之和等于2的方程是 (B)
A. $x^{2}+2x-3= 0$
B. $x^{2}-2x-3= 0$
C. $2x^{2}-2x-3= 0$
D. $-3x^{2}-6x+1= 0$

答案： B

9. (2024·乐山)若关于$x的一元二次方程x^{2}+2x+p= 0的两根为x_{1},x_{2}$,且$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}= 3$,则$p$的值为 (A)
A. $-\frac {2}{3}$
B. $\frac {2}{3}$
C. $-6$
D. $6$

答案： A

10. 【原创题】已知方程$x^{2}-kx-3= 0$的两个根为$x_{1},x_{2}$,若方程两个根互为相反数,则$k=$0,方程的根为$\pm \sqrt{3}$。

答案： $0$ $\pm \sqrt{3}$

11. 【易错题】已知$2+\sqrt {3}$是方程$x^{2}-4x+c= 0$的一个根,则该方程的另一个根为$2 - \sqrt{3}$,$c=$1。

答案： $2 - \sqrt{3}$ $1$

12. (2024·新会区月考)已知$m,n是关于x的一元二次方程x^{2}-2(a+1)x+a^{2}+5= 0$的两个实数根。
(1)若$(m-1)(n-1)= 28$,求$a$的值；6
(2)已知等腰$\triangle ABC$的一边长为7,若$m,n恰好是\triangle ABC$另外两边的长,求$\triangle ABC$的周长。17

答案： 解:
(1) $\because m, n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 5 = 0$ 的两个实数根, $\therefore m + n = 2(a + 1)$, $mn = a^2 + 5$. $\because (m - 1)(n - 1) = 28$, $\therefore mn - (m + n) + 1 = 28$. $\therefore a^2 + 5 - 2(a + 1) + 1 = 28$, 解得 $a = 6$ 或 $a = -4$. 依题意, 得 $\Delta = 4(a + 1)^2 - 4(a^2 + 5) \geq 0$, 解得 $a \geq 2$. $\therefore a = 6$.
(2) ①当 $7$ 为底边长时, 此时方程 $x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 5 = 0$ 有两个相等的实数根. $\therefore \Delta = 4(a + 1)^2 - 4(a^2 + 5) = 0$, 解得 $a = 2$. $\therefore$ 方程变为 $x^2 - 6x + 9 = 0$. $\therefore m = n = 3$. $\because 3 + 3 ＜ 7$, $\therefore$ 不能构成三角形. ②当 $7$ 为腰长时, 设 $m = 7$. 将 $m = 7$ 代入方程, 得 $49 - 14(a + 1) + a^2 + 5 = 0$, 解得 $a = 10$ 或 $a = 4$. 当 $a = 10$ 时, 方程变为 $x^2 - 22x + 105 = 0$, 解得 $x = 7$ 或 $x = 15$. $\because 7 + 7 ＜ 15$, $\therefore$ 不能组成三角形; 当 $a = 4$ 时, 方程变为 $x^2 - 10x + 21 = 0$, 解得 $x = 3$ 或 $x = 7$. $\therefore \triangle ABC$ 的周长为 $7 + 7 + 3 = 17$. 综上所述, $\triangle ABC$ 的周长为 $17$.