《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

7. 如图,直线$y= -x+3与抛物线y= -x^{2}+2x+3交于点A(0,3)$,$B(3,0)$.
(1)用含x的代数式表示EF的长；
(2)求EF的最大值；
(3)求$\triangle ABE$面积的最大值.

答案：
解:
(1) $ \because E ( x, - x ^ { 2 } + 2 x + 3 ) $，$ F ( x, - x + 3 ) $，
$ \therefore E F = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 - ( - x + 3 ) $
$ = - x ^ { 2 } + 3 x $。
(2) $ E F = - x ^ { 2 } + 3 x $
$ = - \left( x - \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 9 } { 4 } $，
$ \because - 1 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 当 $ x = \frac { 3 } { 2 } $ 时，$ E F $ 的最大值为 $ \frac { 9 } { 4 } $。
(3) 如图，连接 $ A E $，$ E B $，作 $ A M \perp E F $，垂足为 $ M $，$ E N \perp O B $ 于点 $ N $，

$ \therefore S _ { \triangle A B E } = S _ { \triangle A E F } + S _ { \triangle B E F } $
$ = \frac { 1 } { 2 } E F \cdot A M + \frac { 1 } { 2 } E F \cdot B N $
$ = \frac { 1 } { 2 } E F \cdot ( A M + B N ) $。
$ \because A M \perp E F $，$ E F \perp x $ 轴，$ A O \perp x $ 轴，
$ \therefore $ 四边形 $ A M N O $ 是矩形。
$ \therefore A M = O N $。
$ \therefore S _ { \triangle A B E } = \frac { 1 } { 2 } E F \cdot ( A M + B N ) $
$ = \frac { 1 } { 2 } E F \cdot ( O N + B N ) $
$ = \frac { 1 } { 2 } E F \cdot O B $。
$ \because O B = 3 $，
$ \therefore S _ { \triangle A B E } = \frac { 1 } { 2 } \times ( - x ^ { 2 } + 3 x ) \times 3 $
$ = - \frac { 3 } { 2 } ( x ^ { 2 } - 3 x ) $
$ = - \frac { 3 } { 2 } \left( x - \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 27 } { 8 } $。
$ \therefore $ 当 $ x = \frac { 3 } { 2 } $ 时，
$ S _ { \triangle A B E } $ 有最大值 $ \frac { 27 } { 8 } $。

8. (2024·徐州)如图,A,B为一次函数$y= -x+5的图象与二次函数y= x^{2}+bx+c$的图象的公共点,点A,B的横坐标分别为0,4.P为二次函数$y= x^{2}+bx+c$的图象上的动点,且位于直线AB的下方,连接PA,PB.
(1)求b,c的值；
(2)求$\triangle PAB$的面积的最大值.

答案：
解:
(1) 当 $ x = 0 $ 时，
$ y = - x + 5 = 5 $；
当 $ x = 4 $ 时，$ y = - x + 5 = 1 $，
$ \therefore A ( 0, 5 ) $，$ B ( 4, 1 ) $。
把 $ A ( 0, 5 ) $，$ B ( 4, 1 ) $ 分别代入 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $，得
$ \left\{ \begin{array} { l } { c = 5, } \\ { 16 + 4 b + c = 1, } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { b = - 5, } \\ { c = 5. } \end{array} \right. $
(2) 由
(1) 可得 $ y = x ^ { 2 } - 5 x + 5 $，设 $ P ( m, m ^ { 2 } - 5 m + 5 ) $。
如图，过点 $ P $ 作 $ P E // O A $ 交 $ A B $ 于点 $ E $，

则 $ E ( m, - m + 5 ) $。
$ \therefore P E = 4 m - m ^ { 2 } $。
$ \therefore S _ { \triangle P A B } = \frac { 1 } { 2 } ( 4 m - m ^ { 2 } ) \times ( 4 - 0 ) $
$ = - 2 ( m - 2 ) ^ { 2 } + 8 $。
$ \therefore $ 当 $ m = 2 $ 时，$ S _ { \triangle P A B } $ 的值最大，最大值为 $ 8 $。