《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. (1)$\sqrt {a}$有意义的条件是a≥0；
(2)$\sqrt {9}$有意义；$\sqrt {0}$有意义；$\sqrt {-9}$无意义。(填“有”或“无”)

答案：
(1)≥
(2)有 有 无

2. (1)一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
(2)根的判别式为$b^{2}-4ac$,记作$\Delta$。

答案：
(1)$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
(2)$b^{2}-4ac$

回顾：一元二次方程根与判别式的关系
|方程|公式法解方程|$\Delta$的值|结论|
|----|----|----|----|
|$x^{2}+x-2= 0$|$x_{1}=$1,$x_{2}=$-2|9|①$\Delta＞0\Leftrightarrow$方程有两个不相等的实数根|
|$x^{2}+2x+1= 0$|$x_{1}=x_{2}=-1$|0|②$\Delta$=0$\Leftrightarrow$方程有两个相等的实数根|
|$2x^{2}+x+1= 0$|无实数根|-7|③$\Delta$＜0$\Leftrightarrow$方程没有实数根|
|注意：$\Delta$≥0$\Leftrightarrow$方程有实数根|
知识点1 计算判别式的值,判断方程根的情况

答案： 【解析】：
1. 对于方程$x^{2}+x - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = - 2$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4\times1\times(-2)=1 + 8 = 9$，$x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}$，则$x_{1}=\frac{-1 + 3}{2}=1$，$x_{2}=\frac{-1 - 3}{2}=-2$。当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。
2. 对于方程$x^{2}+2x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c = 1$，$\Delta =b^{2}-4ac=2^{2}-4\times1\times1=4 - 4 = 0$，根据求根公式$x=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2}=-1$，即$x_{1}=x_{2}=-1$。当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
3. 对于方程$2x^{2}+x + 1 = 0$，其中$a = 2$，$b = 1$，$c = 1$，$\Delta =b^{2}-4ac=1^{2}-4\times2\times1=1 - 8=-7$，根据求根公式，在实数范围内，负数不能开平方，所以方程没有实数根。当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
4. 当$\Delta\geq0$时，方程有实数根（包括两个不相等实数根和两个相等实数根两种情况）。
【答案】：1. $1$；$-2$；$9$；两个不相等的 2. $x_{1}=x_{2}=-1$；$0$；$=$；两个相等的 3. 无实数根；$-7$；$＜$；没有 4. $\geq$

3. 例 不解方程,判断方程$2x^{2}-3x-1= 0$根的情况。
解：$a=$2,$b=$-3,$c=$-1。
$\Delta =b^{2}-4ac=$$(-3)^{2}-4×2×(-1)$=17
由于$\Delta$＞0,
故方程有两个不相等的实数根。

答案： 2 -3 -1 $(-3)^{2}-4×2×(-1)$ 17 ＞ 有两个不相等的

4. 不解方程,判断方程$3x^{2}-x+\frac {1}{2}= 0$根的情况。

答案： 解：$a=3$，$b=-1$，$c=\frac{1}{2}$。$\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×3×\frac{1}{2}=-5＜0$。
∴方程没有实数根。

5. (2024·福建)方程$4x^{2}-4x+1= 0$根的情况是(C)
A. 无实数根
B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根

答案： C

6. (2024·自贡)关于$x的方程x^{2}+mx-2= 0$的根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

7. 例 (2024·广州)若关于$x的方程x^{2}-2x+4-m= 0$有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围。

答案： 解：
∵关于x的方程$x^{2}-2x+4-m=0$有两个不相等的实数根，
∴$\Delta =(-2)^{2}-4(4-m)＞0$，解得$m＞3$。

8. 若关于$x的一元二次方程kx^{2}-6x+9= 0$有实数根,求$k$的取值范围。

答案： 解：
∵一元二次方程$kx^{2}-6x+9=0$有实数根，
∴$\Delta =(-6)^{2}-4×9k≥0$，且$k≠0$，解得$k≤1$且$k≠0$。