《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

8. (2024·广州期中)如图,有一个底部呈球形的烧瓶,球的半径为 $ 5 \text{ cm} $,瓶内液体已经过半,最大深度 $ CD = 7 \text{ cm} $,则截面圆中弦 $ AB $ 的长为(C)

A. $ 4 \text{ cm} $
B. $ 4\sqrt{6} \text{ cm} $
C. $ 2\sqrt{21} \text{ cm} $
D. $ 2\sqrt{29} \text{ cm} $

答案： C

9. (2024·通辽)如图,圆形拱门的最下端 $ AB $ 在地面上,$ D $ 为 $ AB $ 的中点,$ C $ 为拱门的最高点,线段 $ CD $ 经过拱门所在圆的圆心 $ O $。若 $ AB = 1 \text{ m} $,$ CD = 2.5 \text{ m} $。求拱门所在圆的半径。

答案：
解：如图，连接OA，OB，

∵OA=OB，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×1=0.5(m).
设拱门所在圆的半径为x m，
则OD=CD−OC=(2.5−x)(m).
在Rt△ADO中，
AD²+OD²=OA²，
即0.5²+(2.5−x)²=x²，
解得x=1.3.
∴拱门所在圆的半径为1.3 m.

10. (2024·香洲区期末)如图,一个纵截面为半圆的容器水平放置,然后向其中倒入部分液体,测得数据如图所示(单位：$\text{cm}$),则液面宽度 $ AB = $(D)

A. $ 8 \text{ cm} $
B. $ 4 \text{ cm} $
C. $ 4\sqrt{3} \text{ cm} $
D. $ 8\sqrt{3} \text{ cm} $

答案： D

11. (2024·香洲区校级一模)《九章算术》是我国古代数学著作,书中记载：“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用数学语言可表述为“如图,$ CD $ 为 $ \odot O $ 的直径,弦 $ AB \perp DC $ 于点 $ E $,$ ED = 1 $ 寸,$ AB = 10 $ 寸,求直径 $ CD $ 的长。”则 $ CD = $______26寸。

答案： 26

12. 【易错题】如图,$ AC $ 垂直平分 $ \odot O $ 的半径 $ OB $,垂足为 $ P $,四边形 $ OABC $ 是什么特殊的四边形？证明你的结论。

解：菱形. 证明如下：
∵AC垂直平分OB，
∴AC⊥OB，PO=PB.
∴PA=PC.
∴四边形OABC为平行四边形.
∵AC⊥OB，
∴□OABC为菱形.

答案： 解：菱形. 证明如下：
∵AC垂直平分OB，
∴AC⊥OB，PO=PB.
∴PA=PC.
∴四边形OABC为平行四边形.
∵AC⊥OB，
∴□OABC为菱形.

13. 【原创题】如图,在 $ \odot O $ 中,$ P $ 是弦 $ AB $ 的中点,$ P' $ 是弦 $ A'B' $ 的中点。
(1)若 $ AB = A'B' $,求证：$ OP = OP' $；
(2)若 $ OP = OP' $,求证：$ AB = A'B' $。

答案：
证明：
(1)
∵P是弦AB的中点，P'是弦A'B'的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB，A'P'=$\frac{1}{2}$A'B'，
OP⊥AB，OP'⊥A'B'.
∵AB=A'B'，
∴AP=A'P'.
如图，连接OA，OA'，

∴Rt△OAP≌Rt△OA'P'(HL).
∴OP=OP'.
(2)由
(1)知OP⊥AB，
OP'⊥A'B'.
在Rt△OAP和Rt△OA'P'中，
$\begin{cases}OA=OA',\\OP=OP',\end{cases}$
∴Rt△OAP≌Rt△OA'P'(HL).
∴AP=A'P'.
∴AB=A'B'.