《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册人教版》

1. 探究两根和、两根积与$a,b,c$的关系：
(1)$x_{1}+x_{2}= \frac {-b+\sqrt {Δ}}{2a}+\frac {-b-\sqrt {Δ}}{2a}=$$-\frac{b}{a}$；
(2)$x_{1}x_{2}= \frac {-b+\sqrt {Δ}}{2a}\cdot \frac {-b-\sqrt {Δ}}{2a}=$$\frac{c}{a}$。

答案：
(1) $-\frac{b}{a}$
(2) $\frac{c}{a}$

2. 例(2024·东莞三模改编)已知方程$2x^{2}-3x-1= 0的两根是x_{1},x_{2}$,求$x_{1}+x_{2}与x_{1}\cdot x_{2}$的值。

答案： 解: $\because$ 方程 $2 x^2 - 3x - 1 = 0$ 的两根是 $x_1, x_2$, $a = 2, b = -3, c = -1$, $\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$.

一元二次方程根与系数的关系：
若关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)有两根分别为x_{1},x_{2}$,则
两根和$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a}$；两根积$x_{1}\cdot x_{2}= \frac {c}{a}$。
该关系使用的前提条件是$\Delta \geq 0$。

答案： $\Delta \geq 0$

3. (2024·广州期中改编)若$m,n是一元二次方程3x^{2}-5x+1= 0$的两个实数根,求$m+n-mn$的值。

答案： 解: $\because m, n$ 是一元二次方程 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ 的两个实数根, $a = 3, b = -5, c = 1$, $\therefore m + n = -\frac{b}{a} = \frac{5}{3}$, $mn = \frac{c}{a} = \frac{1}{3}$. $\therefore m + n - mn = \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

4. 例若$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}+4x-3= 0$的两个根,求下列各式的值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=$7； (2)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=$$\frac{4}{3}$。

答案： 解: $\because a = 2, b = 4, c = -3$, 且 $x_1, x_2$ 是方程的两个根, $\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{2} = -2$, $x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{3}{2}$.
(1) $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-2)^2 - 2 \times (-\frac{3}{2}) = 7$.
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-2}{-\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}$.

5. 若$x_{1},x_{2}是方程2x^{2}-6x-1= 0$的两个根,求下列各式的值：
(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$； (2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$。

答案： 解:
(1) $\because x_1, x_2$ 是方程 $2x^2 - 6x - 1 = 0$ 的两个根, 且 $a = 2$, $b = -6, c = -1$, $\therefore x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2} = 3$, $x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$. $\therefore (x_1 - 3)(x_2 - 3) = x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) + 9 = -\frac{1}{2} - 3 \times 3 + 9 = -\frac{1}{2}$.
(2) 由
(1)得 $x_1 + x_2 = 3$, $x_1x_2 = -\frac{1}{2}$, $\therefore (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 3^2 - 4 \times (-\frac{1}{2}) = 11$.