《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 (教材第 100 页第 2 题变式)
如图 4,已知点 $ O $ 和 $ \triangle ABC $,请以点 $ O $ 为位似中心,在点 $ O $ 的右侧将 $ \triangle ABC $ 放大为原来的 2 倍。

思路点拨 图形放大为原来的 2 倍,即新图形与原图形的相似比为 2。
解 画法如下：
(1)如图 5,连接 $ AO $ 并延长到点 $ A' $,使 $ A'O = 2AO $；连接 $ BO $ 并延长到点 $ B' $,使 $ B'O = 2BO $；连接 $ CO $ 并延长到点 $ C' $,使 $ C'O = 2CO $。
(2)顺次连接点 $ A' $,$ B' $,$ C' $,则 $ \triangle A'B'C' $ 就是满足条件的三角形。

答案： 解：
(1) 连接 $ AO $ 并延长到点 $ A' $，使 $ A'O = 2AO $；
连接 $ BO $ 并延长到点 $ B' $，使 $ B'O = 2BO $；
连接 $ CO $ 并延长到点 $ C' $，使 $ C'O = 2CO $。
(2) 顺次连接点 $ A' $、$ B' $、$ C' $，则 $ \triangle A'B'C' $ 即为所求的三角形。

例 3 如图 6,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 各顶点的坐标分别是 $ A(2,2) $,$ B(4,0) $,$ C(4, -4) $。
(1)请在 $ y $ 轴左侧画出以点 $ O $ 为位似中心,将 $ \triangle ABC $ 缩小为原图形的 $ \frac{1}{2} $ 的 $ \triangle A_1B_1C_1 $。
(2)设点 $ P(a,b) $ 为 $ \triangle ABC $ 内的一点,则点 $ P $ 在(1)中 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 内的对应点 $ P_1 $ 的坐标为______。

思路点拨 (1)要将 $ \triangle ABC $ 缩小为原图形的 $ \frac{1}{2} $,由位似图形的定义可知,$ |k| = \frac{1}{2} $。因为所画的 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 在 $ y $ 轴的左侧,所以 $ k $ 为 $ -\frac{1}{2} $。将 $ \triangle ABC $ 各顶点的横、纵坐标都乘 $ -\frac{1}{2} $,即可得到 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 各顶点的坐标。根据坐标描点并顺次连线即得所求图形。
(2)由(1)可知 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 与 $ \triangle ABC $ 的位似比,将点 $ P $ 的坐标乘位似比即可得对应点 $ P_1 $ 的坐标。
解 (1)将 $ \triangle ABC $ 各顶点的横、纵坐标都乘 $ -\frac{1}{2} $,得 $ A_1(-1, -1) $,$ B_1(-2,0) $,$ C_1(-2,2) $；依次连接点 $ A_1 $,$ B_1 $,$ C_1 $,则 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 即为所求的三角形,如图 7。
(2)因为 $ \triangle A_1B_1C_1 $ 与 $ \triangle ABC $ 的位似比为 $ -\frac{1}{2} $,
所以点 $ P(a,b) $ 的对应点 $ P_1 $ 的坐标为 $ \left( -\frac{a}{2}, -\frac{b}{2} \right) $。

答案：
(1) 如图所示（此处需根据坐标描点连线，略）；
(2) $ \left( -\frac{a}{2}, -\frac{b}{2} \right) $