《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. 求出图$3中\angle A$,$\angle B$的正弦值.

答案： 解:在Rt$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AB=6$,$BC=2$,根据勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4\sqrt{2}$.
∴ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

7. ($2022$江苏连云港中考)如图$4$,在$6×6$正方形网格中,$\triangle ABC的顶点A$,$B$,$C$都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则$\sin A$的值是____.

答案： $\frac{4}{5}$ 提示:不妨设每个小正方形的边长为1,作$CD\perp AB$于点D,则$CD=4$,$AD=3$.则$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.故$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{5}$.

8. 如图$5$,在矩形$ABCD$中,$AB = 3$,$AD = 5$,点$E在DC$边上,将矩形$ABCD沿AE$折叠,点$D恰好落在BC边上的点F$处,求$\sin\angle EFC$的值.

答案： 解:由折叠的性质可知$AF=AD=5$,$\angle AFE=\angle D=90^{\circ}$.在Rt$\triangle ABF$中,$AB=3$,$AF=5$,由勾股定理,得$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
∵ $\angle AFE=90^{\circ}$,$\angle B=90^{\circ}$,
∴ $\angle EFC+\angle AFB=90^{\circ}$,$\angle FAB+\angle AFB=90^{\circ}$.
∴ $\angle EFC=\angle FAB$.
∴ $\sin\angle EFC=\sin\angle FAB=\frac{BF}{AF}=\frac{4}{5}$.

9. 如图$6$,在锐角三角形$ABC$中,$\angle B = 60^{\circ}$,$\sin C= \dfrac{4}{5}$,$AC = 10$. 求$AB$的长.

答案： 解:过点A作$AD\perp BC$于点D.在Rt$\triangle ACD$中,$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{5}$,$AC=10$,
∴ $AD=8$.在Rt$\triangle ABD$中,$\angle B=60^{\circ}$,$\sin B=\frac{AD}{AB}$,
∴ $\frac{8}{AB}=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴ $AB=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

10. 猜想与运用
【问题情境】 如图$7$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D为BC$边(除端点外)上一点,设$\angle ADC = α$,$\angle B = β$.
【数学猜想】 (1)猜想$\sin α与\sin β$的大小关系是____.(用“$＞$”连接)
【猜想论证】 (2)证明你的结论.
【迁移运用】 (3)比较大小：
$\sin 65^{\circ}$____$\sin 50^{\circ}$.(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

答案：
(1)$\sin\alpha＞\sin\beta$
(2)证明:由题图知$\sin\alpha=\frac{AC}{AD}$,$\sin\beta=\frac{AC}{AB}$.
∵ $AD＜AB$,
∴ $\frac{AC}{AD}＞\frac{AC}{AB}$,
∴ $\sin\alpha＞\sin\beta$.
(3)$＞$