《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 如图7,抛物线y= -$\frac{1}{2}$x^2+2x+$\frac{5}{2}$与x轴相交于A,B两点,点B在点A的右侧,与y轴相交于点C。

(1)求点A,B,C的坐标。
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标。

答案：
1.解:
(1)在$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}$中,当$x=0$时,$y=\dfrac{5}{2}$.$\therefore C\left(0,\dfrac{5}{2}\right)$.当$y=0$时,$-\dfrac{1}{2}x^{2}+2x+\dfrac{5}{2}=0$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=5$.$\therefore A(-1,0)$,$B(5,0)$.
(2)如图50,连接$BC$,交对称轴于点$P$,连接$AP$.$\because$点$A$与点$B$关于抛物线的对称轴对称,$\therefore PA=PB$.此时$PA+PC=PB+PC=BC$,其值最小.设直线$BC$所表示的函数的表达式为$y=kx+b$.把$B(5,0)$,$C\left(0,\dfrac{5}{2}\right)$代入,得$\begin{cases} 5k+b=0,\\ b=\dfrac{5}{2}.\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{1}{2},\\ b=\dfrac{5}{2}.\\ \end{cases}$$\therefore y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$.$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{2}{2×\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=2$,在$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$中,当$x=2$时,$y=\dfrac{3}{2}$.$\therefore P\left(2,\dfrac{3}{2}\right)$.