《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

6. (2022 江苏无锡中考)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为 10 m),另外三面用栅栏围成,且中间用栅栏把它分成两个面积比为 $ \frac{1}{2} $ 的矩形,已知栅栏的总长度为 24 m,设较小矩形的宽为 $ x $ m(如图 6)。

1. 当矩形养殖场的总面积为 $ 36 m^2 $ 时,求 $ x $ 的值。
2. 当 $ x $ 为多少时,矩形养殖场的总面积最大？最大面积为多少？

答案： 1.解:根据题意,得较大矩形的宽为$2x\ m$,两个矩形的长均为$\frac{24-x-2x}{3}=(8-x)\ m$.所以$(x+2x)(8-x)=36$,解得$x_1=2$,$x_2=6$.经检验,$x=6$时,$3x=18＞10$不符合题意,舍去.所以$x=2$.答:矩形养殖场的总面积为$36\ m^2$时,$x$的值为2. 2.解:设矩形养殖场总面积是$y\ m^2$.因为墙的长度为$10\ m$,所以$0＜3x\leqslant10$,即$0＜x\leqslant\frac{10}{3}$.由题意得$y=(x+2x)(8-x)=-3x^2+24x=-3(x-4)^2+48$.因为当$x＜4$时,$y$随$x$的增大而增大,且$0＜x\leqslant\frac{10}{3}$,所以当$x=\frac{10}{3}$时,$y$取最大值,最大值为$-3×\left(\frac{10}{3}-4\right)^2+48=\frac{140}{3}$.答:当$x=\frac{10}{3}\ m$时,矩形养殖场的总面积最大,最大面积为$\frac{140}{3}\ m^2$.

7. (2022 辽宁丹东中考)某景区研发一款纪念品,每件成本为 30 元,投放景区内进行销售,规定销售单价不低于成本且不高于 54 元。销售一段时间后调研发现,每天的销售数量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元)满足一次函数关系,部分数据如下表。
| 销售单价 $ x $/元 | … | 35 | 40 | 45 | … |
| 每天销售数量 $ y $/件 | … | 90 | 80 | 70 | … |

1. 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
2. 要想每天销售该纪念品获得利润 1200 元,销售单价应定为多少元？
3. 当销售单价为多少元时,每天获得利润最大？最大利润是多少元？

答案： 1.解:设$y$与$x$之间的函数表达式为$y=kx+b$.把$(35,90)$,$(40,80)$代入,得$\begin{cases}35k+b=90,\\40k+b=80.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=160.\end{cases}$所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-2x+160(30\leqslant x\leqslant54)$. 2.解:根据题意,得$(x-30)(-2x+160)=1200$.解得$x_1=50$,$x_2=60$.因为$30\leqslant x\leqslant54$,所以$x=50$.答:销售单价应定为50元. 3.解:设每天获得的利润为$w$元,则$w=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800=-2(x-55)^2+1250$.因为当$x＜55$时,$y$随$x$的增大而增大,且$30\leqslant x\leqslant54$,所以当$x=54$时,$w$取最大值,最大值是$-2×(54-55)^2+1250=1248$.答:当销售单价为54元时,每天获得利润最大,最大利润是1248元.