《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 与二次函数有关的几何图形面积最值的求法：
利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数表达式；
将二次函数表达式配方,化成顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $；
根据顶点式,结合自变量取值范围确定面积的最值。

答案： （无具体题目，此为方法总结）

2. 价格调整和利润最大问题的求法：
由“总利润 = 每件的利润 × 数量”得到二次函数表达式；
根据函数图象和性质求最大值。

答案： 二次函数的最大值即为最大利润。

1. 某商场降价销售一批衬衫,已知所获利润 $ y $(元)与降价金额 $ x $(元)之间满足函数表达式 $ y = -2x^2 + 60x + 800 $,则该商场销售这批衬衫,获利最多为( )。

A.15 元
B.400 元
C.800 元
D.1250 元

答案： D 提示:$y=-2x^{2}+60x+800=-2(x-15)^{2}+1250$,因为$a=-2＜0$,所以当$x=15$时,y有最大值,最大值为1250.

2. 已知一个直角三角形的两直角边长之和为 20 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )。

A.$ 25 cm^2 $
B.$ 50 cm^2 $
C.$ 100 cm^2 $
D.$ 125 cm^2 $

答案： B 提示:设一条直角边长为$x\ cm$,面积为$S\ cm^2$,则$S=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$.所以当$x=10$时,$S$取得最大值$50\ cm^2$.

3. 某种商品每件进价为 20 元,调查发现,在某段时间内,若以每件 $ x $ 元($ 20 \leq x \leq 30 $,且 $ x $ 为整数)出售,则可卖出 $ (30 - x) $ 件。要使利润最大,每件商品的售价应为______元。

答案： 25 提示:设利润为$w$元.由题意,得$w=(x-20)(30-x)=-x^2+50x-600=-(x-25)^2+25$.因为$-1＜0$,$20\leqslant x\leqslant30$,所以当$x=25$时,$w$最大.

例 1 (教材第 30 页“动脑筋”变式)用长为 6 m 的铝合金条制成图 1 所示的矩形窗框,设窗框的高为 $ x $ m,窗户的透光面积为 $ S m^2 $(铝合金条的宽度不计)。

1. 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围。
2. 当窗框的高为多少米时,窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

答案： 1. 设窗框的宽为 $ y \, m $，由题意知铝合金条总长度为 $ 6 \, m $。窗框由2条竖边（每条长 $ x \, m $）和3条横边（每条长 $ y \, m $）组成，故 $ 2x + 3y = 6 $，解得 $ y = \frac{6 - 2x}{3} $。
透光面积 $ S = x \cdot y = x \cdot \frac{6 - 2x}{3} = -\frac{2}{3}x^2 + 2x $。
自变量 $ x $ 的取值范围：$ x ＞ 0 $ 且 $ y = \frac{6 - 2x}{3} ＞ 0 $，即 $ 0 ＜ x ＜ 3 $。
2. 函数 $ S = -\frac{2}{3}x^2 + 2x $ 中，$ a = -\frac{2}{3} ＜ 0 $，开口向下，对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 × (-\frac{2}{3})} = \frac{3}{2} = 1.5 $。
因 $ 1.5 \in (0, 3) $，故当 $ x = 1.5 \, m $ 时，$ S $ 最大，最大面积 $ S_{max} = -\frac{2}{3}(1.5)^2 + 2 × 1.5 = 1.5 \, m^2 $。
答：1. $ S = -\frac{2}{3}x^2 + 2x $，$ 0 ＜ x ＜ 3 $；2. 高为 $ 1.5 \, m $ 时，最大透光面积为 $ 1.5 \, m^2 $。