《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

4. 如图 12,已知 $ A(n,-2) $,$ B(-1,4) $ 是一次函数 $ y = kx + b $ 和反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象的交点。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式。
(2)求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案：
(1)把点$B(-1,4)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$\frac{m}{-1}=4$。解得$m = - 4$。因此反比例函数的表达式为$y = -\frac{4}{x}$。把点$A(n,-2)$代入$y = -\frac{4}{x}$，得$-\frac{4}{n}=-2$。解得$n = 2$。故$A(2,-2)$。把点$A(2,-2)$，$B(-1,4)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}2k + b = - 2\\ - k + b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 2\\ b = 2\end{cases}$。因此一次函数的表达式为$y = - 2x + 2$。
(2)设直线$AB$与$y$轴的交点为$C$。在$y = - 2x + 2$中，当$x = 0$时，$y = 2$，故$C(0,2)$。则$OC = 2$。所以$S_{△AOB}=S_{△AOC}+S_{△BOC}=\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×2×1 = 3$。

5. (2023 湖南湘西中考)如图 13,点 $ A $ 在函数 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,点 $ B $ 在函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,且 $ AB // x $ 轴,$ BC \perp x $ 轴于点 $ C $,则四边形 $ ABCO $ 的面积为( )。

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： B　提示:延长$BA$交$y$轴于点$D$，可得$DA⊥y$轴。因为点$A$，$B$分别在函数$y=\frac{2}{x}$，$y=\frac{3}{x}$的图象上，所以$S_{△AOD}=\frac{1}{2}×2 = 1$，$S_{矩形OCDB}=3$。所以$S_{四边形ABCO}=S_{矩形OCDB}-S_{△AOD}=2$。

6. 综合与实践
【数学探究】 某数学兴趣小组研究了函数 $ y = \frac{2}{|x|} $ 的图象与性质,探究过程如下。
(1)绘制函数图象。
列表：下表是 $ x $ 与 $ y $ 的几组对应值,其中 $ m = $______。
| $ x $ | …$ $ | $ -3 $ | $ -2 $ | $ -1 $ | $ -\frac{1}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ \frac{2}{3} $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 4 $ | $ 4 $ | $ 2 $ | $ m $ | $ \frac{2}{3} $ | …$ $ |
描点：根据表中各组对应值 $ (x,y) $,在平面直角坐标系中描出各点。
连线：用平滑的曲线顺次连接各点,画出了部分图象(如图 14)。请把图象补充完整。
【观察发现】 (2)通过观察图 14,写出该函数的两条性质：
①______；
②______。
(3)如图 15,直线 $ y = 2 $ 与函数 $ y = \frac{2}{|x|} $ 的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,连接 $ OA $,$ OB $,则 $ \triangle OAB $ 的面积是______。
【探究思考】 (4)如图 15,将(3)中“直线 $ y = 2 $”改为“直线 $ y = a(a ＞ 0) $”,其他条件不变,则 $ \triangle OAB $ 的面积是______。
【类比猜想】 (5)直线 $ y = a(a ＞ 0) $ 与函数 $ y = \frac{k}{|x|}(k ＞ 0) $ 的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,连接 $ OA $,$ OB $,则 $ \triangle OAB $ 的面积是______。

答案：
(1)1　补全图象如图4。　提示:当$x = 2$时，$m=\frac{2}{|2|}=1$。
(2)①函数的图象关于$y$轴对称　②当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小(答案不唯一)
(3)2　提示:如图5，由$A$，$B$两点关于$y$轴对称，可得$y$轴垂直平分$AB$，所以$S_{△OAB}=2×\frac{1}{2}|k|=2$。
(4)2　提示:同
(3)可知$S_{△OAB}=2×\frac{1}{2}|k|=2$。
(5)k