《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. 根的判别式：关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的根的判别式 $ \Delta =$ ______.

答案： $b^{2}-4ac$

2. 根的判别式的应用：
(1) $ \Delta ＞ 0 \Leftrightarrow $ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 有 ______ 的实数根,这两个根为 $ x_{1}= \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $,$ x_{2}= \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $.

(2) $ \Delta = 0\Leftrightarrow $ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 有 ______ 的实数根,这两个根为 $ x_{1}= x_{2}= -\frac{b}{2a} $.
(3) $ \Delta ＜ 0\Leftrightarrow $ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ ______ 实数根.

答案：
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)没有

3. 在运用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况时,要注意二次项系数 $ a\neq0 $.

答案： 正确

1. 一元二次方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的根的情况是( ).

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： B

2. (2024 北京中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + c = 0 $ 有两个相等的实数根,则实数 $ c $ 的值为( ).

A.$ -16 $
B.$ -4 $
C.$ 4 $
D.$ 16 $

答案： C

3. (2022 湖南岳阳中考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + m = 0 $ 有两个不相等的实数根,则实数 $ m $ 的取值范围是 ______.

答案： $m＜1$

4. (2022 江苏徐州中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+x - c = 0 $ 没有实数根,则 $ c $ 的取值范围是 ______.

答案： $c＜-\frac{1}{4}$

例1 (教材第 44 页例题变式)不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) $ x^{2}+3x - 1 = 0 $；
(2) $ 4x(x - 1) = -1 $；
(3) $ 3x^{2}+3 = 2\sqrt{6}x $.
思路点拨 先将方程化为一般式,求出判别式,再根据判别式的值确定根的情况.
解 (1) 因为 $ \Delta = b^{2}-4ac = 3^{2}-4×1×(-1) = 13 ＞ 0 $,
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2) 将原方程化为一般形式,得 $ 4x^{2}-4x + 1 = 0 $.
因为 $ \Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4×4×1 = 0 $,
所以原方程有两个相等的实数根.
(3) 将原方程化为一般形式,得 $ 3x^{2}-2\sqrt{6}x + 3 = 0 $.
因为 $ \Delta = b^{2}-4ac = (-2\sqrt{6})^{2}-4×3×3 = -12 ＜ 0 $,
所以原方程没有实数根.
易错提醒 当 $ \Delta = 0 $ 时,结论是方程有两个相等的实数根,不能说方程只有一个实数根.

答案：
(1)方程$x^{2} + 3x - 1 = 0$：
$a = 1,b = 3,c = - 1$，
$\Delta =b^{2}-4ac= 3^{2} - 4 × 1 × ( - 1) =13\gt 0$，
所以原方程有两个不相等的实数根。
(2)方程$4x(x - 1) = - 1$化为一般式为$4x^{2} - 4x + 1 = 0$：
$a = 4,b = - 4,c = 1$，
$\Delta =b^{2}-4ac= ( - 4)^{2} - 4 × 4 × 1 =0$，
所以原方程有两个相等的实数根。
(3)方程$3x^{2} + 3 = 2\sqrt{6}x$化为一般式为$3x^{2} - 2\sqrt{6}x + 3 = 0$：
$a = 3,b = - 2\sqrt{6},c = 3$，
$\Delta =b^{2}-4ac= ( - 2\sqrt{6})^{2} - 4 × 3 × 3 = - 12\lt 0$，
所以原方程没有实数根。