《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 3
如图 11,在锐角三角形 $ ABC $中,点 $ D $, $ E $分别在 $ AC $, $ AB $上, $ AG \perp BC $于点 $ G $, $ AF \perp DE $于点 $ F $, $ \angle EAF = \angle CAG $。
(1) 求证： $ \triangle ADE \sim \triangle ABC $。
(2) 已知 $ AD = 3 $, $ AB = 5 $,求 $ \frac{AF}{AG} $的值。

答案：
(1) 证明见上述过程；
(2) $\frac{3}{5}$。

3. 如图 12,在 $ \triangle ABC $中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ CD \perp AB $于点 $ D $, $ BD = 4 $, $ AD = 9 $。求 $ CD $的长。

答案： 解：
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°.
∴ ∠DCB + ∠B = 90°.
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠DCB + ∠ACD = 90°.
∴ ∠ACD = ∠B.
∴ △ACD∽△CBD.
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
∴ $CD^{2}=AD\cdot BD = 9×4 = 36$，解得 CD = 6（负值已舍去）.