《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

5. 如图,已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ A(-1,-1) $,$ B(0,2) $,$ C(1,3) $。
(1)求二次函数的表达式。
(2)在图的平面直角坐标系中(网格单位长度为 $ 1 $)画出该二次函数的图象。(不要求写画法)

答案：
解:
(1)设二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx+c$.分别将点$A(-1,-1),B(0,2),C(1,3)$的坐标代入,得$\begin{cases}a - b + c = -1\\c = 2\\a + b + c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\\c = 2\end{cases}$，所以二次函数的表达式为$y = -x^{2}+2x+2$.
(2)二次函数的图象如图46.

6. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ A(-1,0) $,$ B(0,2) $,$ BC = 3 $。经过点 $ B $,$ C $,$ D $ 的抛物线所表示的函数的表达式为____。

答案： $y = x^{2}-3x+2$ 提示:设抛物线所表示的函数表达式为$y = ax^{2}+bx+c$.由$BC// AD,AD = BC = 3$，$A(-1,0),B(0,2)$，得$C(3,2),D(2,0)$.将$B(0,2)$，$C(3,2),D(2,0)$代入$y = ax^{2}+bx+c$，得函数表达式为$y = x^{2}-3x+2$.

7. 如图,已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过点 $ A(0,3) $,$ B(3,0) $,$ C(4,3) $。
(1)求抛物线所表示的函数的表达式。
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴。
(3)把抛物线向上平移,使其顶点落在 $ x $ 轴上,求此时抛物线所表示的二次函数的表达式。

答案： 解:
(1)把点$A(0,3),B(3,0),C(4,3)$代入$y = ax^{2}+bx+c$，得$\begin{cases}c = 3\\9a + 3b + c = 0\\16a + 4b + c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -4\\c = 3\end{cases}$，所以抛物线所表示的二次函数的表达式为$y = x^{2}-4x+3$.
(2)因为$y = x^{2}-4x+3=(x - 2)^{2}-1$，所以抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x = 2$.
(3)由
(2)得，平移前二次函数的表达式为$y=(x - 2)^{2}-1$，顶点坐标为$(2,-1)$.要使抛物线顶点落在x轴上，需向上平移1个单位，因此平移后抛物线所表示的二次函数的表达式为$y=(x - 2)^{2}=x^{2}-4x+4$.

8. 如图,已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $,$ C(0,6) $ 三点。
(1)求抛物线所表示的函数的表达式。
(2)点 $ P(m,n) $ 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设 $ \triangle PBC $ 的面积为 $ S $,求 $ S $ 关于 $ m $ 的函数表达式(写出自变量 $ m $ 的取值范围)和 $ S $ 的最大值。

答案：
解:
(1)由$A(-1,0),B(3,0)$是抛物线与x轴的交点，设抛物线所表示的函数的表达式为$y = a(x + 1)(x - 3)$.将点$C(0,6)$的坐标代入，得$-3a = 6$.解得$a = -2$.所以$y = -2(x + 1)(x - 3)$，即$y = -2x^{2}+4x+6$.
(2)如图47，过点P作$PF// y$轴，交BC于点F.设直线BC所表示的函数表达式为$y = kx + d$.将点$B(3,0),C(0,6)$的坐标代入，得$\begin{cases}3k + d = 0\\d = 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\d = 6\end{cases}$，所以$y = -2x+6$.根据题意，得点P的坐标为$(m,-2m^{2}+4m+6)$，点F的坐标为$(m,-2m+6)$.则$PF=-2m^{2}+4m+6-(-2m+6)=-2m^{2}+6m$.故$S=\frac{1}{2}PF\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot(-2m^{2}+6m)\cdot3=-3m^{2}+9m=-3(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4}$.因此S关于m的函数表达式为$S=-3m^{2}+9m(0＜m＜3)$，当$m=\frac{3}{2}$时，S取得最大值，最大值为$\frac{27}{4}$.