《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

例 2 如图 7,已知 $ AF // BD // EC $,且 $ FB = 3 $,$ BE = 6 $,$ AB = 5 $,$ FD = 3.2 $,求 $ FC $,$ BC $ 的长。

答案： 因为 $AF // BD // EC$，根据平行线分线段成比例定理及相似三角形性质：
1. 求 $FC$ 的长：
三条平行线 $AF$、$BD$、$EC$ 截直线 $AE$ 和 $FC$，得 $\frac{AB}{BE} = \frac{FD}{DC}$。
已知 $AB=5$，$BE=6$，$FD=3.2$，设 $DC=x$，则：
$\frac{5}{6} = \frac{3.2}{x}$，解得 $x = \frac{3.2 × 6}{5} = 3.84$。
故 $FC = FD + DC = 3.2 + 3.84 = 7.04 = \frac{176}{25}$。
2. 求 $BC$ 的长：
因 $AF // BD$，则 $\triangle CBD \sim \triangle CAF$（同位角相等，两三角形相似），得 $\frac{BC}{AC} = \frac{DC}{FC}$。
设 $BC = y$，则 $AC = AB + BC = 5 + y$，$DC = \frac{96}{25}$，$FC = \frac{176}{25}$，故：
$\frac{y}{5 + y} = \frac{96/25}{176/25} = \frac{6}{11}$，解得 $11y = 6(5 + y)$，$5y = 30$，$y = 6$。
结论：$FC = \frac{176}{25}$，$BC = 6$。

1. (2024 黑龙江哈尔滨中考)如图 8,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AD // BC $,点 $ E $ 在 $ AB $ 上,$ EF // AD $ 交 $ CD $ 于点 $ F $。若 $ AE:EB = 1:2 $,$ DF = 3 $,则 $ FC $ 的长为( )。

A.6
B.3
C.5
D.9

答案： A

2. 如图 9,$ AB // CD // EF $,$ AF $ 与 $ BE $ 相交于点 $ G $,且 $ AG = 2 $,$ GD = 1 $,$ DF = 5 $,则 $ \frac{CE}{BC} $ 的值为( )。

A.$ \frac{5}{3} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： A