《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

一元二次方程
- 定义：如果一个方程通过整理可以使右边为______,而左边是只含有一个未知数的______次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程。
- 解法：
直接开平方法
配方法
公式法：当$b^{2}-4ac\geqslant 0$时,一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0的根是x_{1}= $______,$x_{2}= $______。
因式分解法
- 根的判别式：
$b^{2}-4ac＞0\Leftrightarrow$方程有两个______的实数根；
$b^{2}-4ac = 0\Leftrightarrow$方程有两个______的实数根；
$b^{2}-4ac＜0\Leftrightarrow$方程______实数根。
- 根与系数的关系：如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0的两根为x_{1}$,$x_{2}$,那么$x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______。
- 应用：
步骤：审、设、列、解、答。
常见类型：变化率问题,利润问题,几何问题等。

答案： 0 二 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 不相等 相等 没有 $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

1. 把方程$5x^{2}-4 = x$化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )。

A.$5$,$-1$,$-4$
B.$5$,$1$,$-4$
C.$5$,$4$,$1$
D.$1$,$-4$,$5$

答案： A

2. 方程$x(x - 5)= x - 5$的根为( )。

A.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 5$
B.$x_{1}= 0$,$x_{2}= -5$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 5$
D.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -5$

答案： C

3. 方程$(9x + 1)^{2}= 1$的根为( )。

A.$x_{1}= x_{2}= \frac{1}{3}$
B.$x_{1}= x_{2}= \frac{2}{9}$
C.$x_{1}= 0$,$x_{2}= \frac{2}{9}$
D.$x_{1}= 0$,$x_{2}= -\frac{2}{9}$

答案： D

4. (2022 河南中考)一元二次方程$x^{2}+x - 1 = 0$的根的情况是( )。

A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根

答案： A