《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册湘教版》

1. (2022 云南中考) 如图 13,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 E. 若 $AB = 26$,$CD = 24$,则 $\angle OCE$ 的余弦值为( ).

A.$\frac{7}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{13}{12}$

答案： B

2. 如图 14,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的⊙O 上,若 $OA\perp BC$ 于点 H,$\angle CDA = 30^{\circ}$,则弦 BC 的长为( ).

A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

答案： D

3. (数学文化) 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图 15. 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆,如图 16. 已知圆心 O 在水面上方,且⊙O 被水面截得的弦 AB 的长为 6 m,⊙O 的半径长为 4 m. 若 C 为运行轨道的最低点,则点 C 到水面的距离为( ).


A. 1 m
B. $(4-\sqrt{7})$m
C. 2 m
D. $(4+\sqrt{7})$m

答案： B 提示:如图 69,连接 OC 交 AB 于点 D,连接 OA.易得 OC⊥AB 于点 D.则 AD=$\frac{1}{2}$AB=3m,$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}(m)$.故$CD=OC - OD=(4 - \sqrt{7})m$.

4. 如图 17,⊙O 的半径为 2,弦 AB 垂直平分半径 OC,垂足为 D,则弦 AB 的长为______.

答案： $2\sqrt{3}$

5. (2022 湖北宜昌中考) 石拱桥体现了我国古代劳动人民的勤劳和智慧(如图 18),隋朝建造的赵州桥距今约有 1400 年历史,是我国古代石拱桥的代表. 图 19 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,用 $\overset{\frown}{AB}$ 表示. 桥的跨度(弧所对的弦长)$AB = 26$ m,$\overset{\frown}{AB}$ 所在圆的圆心为 O,半径 $OC\perp AB$,垂足为点 D. 拱高(弧的中点到弦的距离)$CD = 5$ m. 连接 OB.
(1)判断 AD 与 BD 的数量关系,并说明判断的依据.
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径.(结果精确到 1 m)

答案： 解:
(1)AD=BD. 依据:垂径定理.
(2)设主桥拱半径为 Rm.
∵ AB=26m,CD=5m,OC⊥AB,
∴ BD=$\frac{1}{2}$AB=13m,OD=OC - CD=(R - 5)m.在$Rt△BOD$中,由勾股定理,得$OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$,即$(R - 5)^{2}+13^{2}=R^{2}$.解得 R=19.4≈19.答:这座石拱桥主桥拱的半径约为 19m.